El Número áureo (II)

Ya estoy otra vez dándole vueltas al dichoso número phi. Sí, aquél que también era conocido como la proporción divina, y del que les hablé en esta entrada de hace apenas un mes. No es que tenga nada nuevo que comentarles, es más, sigo tan confundido (mejor dicho, absorto) o más que cuando tuve las primeras noticias de su existencia. De hecho, a medida que voy conociendo sobre la criaturita de Fibonacci más preguntas me hago.

Pero bueno, el motivo de esta segunda parte no era compartir mi confusión con ustedes, sino este pequeño documental sobre el tema que me he encontrado por la red. Dura escasos veinte minutos, y es un capítulo del programa de televisión "Más por menos", dedicado al número áureo. Échenle un vistazo, a ver qué les parece. Quizá así puedan averiguar qué pinta la imagen de la concha fosilizada del Oxynoticeras como encabezamiento de esta entrada. Y luego me cuentan, ¿eh?.

El diablo de los números

¿Conocen a Teplotaxl?. Es un diablo de los números y también mi profesor particular de matemáticas. Me lo presentó Hans Magnus Enzensberger, un alemán que nada sabía de cifras hasta que conoció a este demonio. Teplotaxl se aparece en los sueños de aquéllos que temen a las matemáticas, y los llena de combinaciones, límites, raíces cuadradas o cualquier otra pesadilla similar. Y aunque es algo cascarrabias y a veces da miedo, siempre consigue que podamos comprender de forma divertida todos esos extraños conceptos.

Él me enseño que 1+1=2. Bueno, realmente yo ya lo sabía, pero fue el diablo de los números quien me contó que sólo la demostración de esta sencilla operación ocupó gran parte de la vida de uno de los más grandes intelectuales del siglo XX, Bertrand Russell. Pinchen en la imágen superior, si quieren averiguar si lo consiguió.

Teplotaxl también me mostró que las liebres y los árboles conocen las matemáticas, o al menos eso afirmaba otro demonio amigo suyo, un tal Fibonacci. Pero si quieren conocer otras muchas curiosidades que encierra este sorprendente universo de cifras y símbolos, mejor échenle un vistazo a este librillo. Puede que les entre el sueño y tengan la oportunidad de que se les aparezca mi maestro, Teplotaxl, el genio de los números.

El Número áureo

El símbolo que están viendo es la letra griega Phi, y en matemáticas se usa para representar el número irracional (como "pi", entre otros) cuyas primeras cifras tienen en la imagen inferior (pinchen en la imagen, si quieren ver algo):

Se dice que dos números positivos (a y b, siendo a>b) están en razón áurea si la suma de ambos dividido por el mayor de ellos es igual a la división entre éste y el más chico. Es decir: (a+b)/a = a/b. Si a b le damos el valor uno, podremos saber el valor de phi, resolviendo la sencilla ecuación de segundo grado resultante de multiplicar por a ambos lados de la igualdad. De tal manera que, algebraicamente, phi es la división entre dos, de la suma de la unidad y la raíz cuadrada de cinco, es decir 1,681...(cliquen otra vez en aquella imagen, si lo desean).

Se estarán preguntando porque les estoy mareando con molestas operaciones matemáticas que resultan en una cifra tan vulgar. Y tienen toda la razón, al menos en que phi es una proporción de lo más corriente. De hecho aparece habitualmente en las matemáticas (serie de Fibonacci), en la geometría (teorema de Ptolomeo), en el arte (hombre de Vitruvio), en la música (5ª sinfonía de Beethoven), y hasta en objetos de la propia naturaleza (espirales de las conchas). Y precisamente por eso es un número tan extraordinario. ¿Qué puede explicar que esta razón sea habitual en disciplinas aparentemente tan diferentes?. Hay muchas teorías que intentan justificar su exagerada presencia; algunas son tan atrevidas, por no decir descabelladas, que incluso se atreven a relacionarla con los dioses. De hecho, en el arte, Phi es conocida como la divina proporción. Pero casi mejor échenle un vistazo a este video, que hablando de estos temas científicos, siento el aliento crítico de mi socio Ojodeorux en el cogote, el cual, por otra parte, espero que no tarde mucho en ilustrarnos con su inmensa sabiduría en temas tan farragosos.

Paradójico cumpleaños

Les cuento, la imagen de arriba representa a un grupo de 60 personas más o menos. Los dos que salen al encuentro resulta que celebran su cumpleaños el mismo día. Pueden pensar que el hecho de que, entre sesenta individuos, se encuentren dos que cumplan años el mismo día, no es algo demasiado improbable. Humm, veamos. Si el año tiene 365 fechas, y hay sesenta sujetos, aparentemente, habría casi una posibilidad entre seis (60/365) de que dos de ellos hayan nacido el mismo día del mismo mes. Más o menos, idéntica probabilidad que acertar el número que va a salir al tirar un dado. Pues no era tan fácil, entonces.

¡ERROR!. Las probabilidades de que en un conjunto de 60 personas haya dos de ellas que hayan nacido el mismo día del año, son de más de un 99 %. En la tabla inferior, tienen la curva que rige para esta cuestión, donde el eje x=nº de personas, y el y=probabilidades de 0 a 1. Si no acaban de creérselo, lean esta explicación de la mal llamada "paradoja del cumpleaños".

Y lo peor de todo es que aunque hoy es el día de mi cumpleaños, por culpa de esto, en vez de especial, no puedo evitar sentirme vulgar. Mierda de matemáticas...

La multiplicación árabe

Si han seguido el blog estos días, habrán aprendido curiosos métodos de multiplicación de números, algunos de ellos de origen remotísimo.

El que nos ocupa hoy, es básicamente, el que hemos aprendido en la escuela, aunque la disposición de los números resulta un poco diferente. Lo introdujeron los árabes, partiendo de los números que habían importado de la India. La clave está en el sistema de numeración posicional de base 10 y con la existencia de cero. Posicional quiere decir, en este contexto, que el valor de cada cifra depende del lugar relativo que ocupa en el número, de tal modo que si está a la derecha, representa las unidades; si se encuentra dos posiciones a la derecha, las decenas; y así sucesivamente, siguiendo las potencias de diez.

Basta pensar en lo complicado que resultaría multiplicar (o incluso sumar) dos números romanos para darnos cuenta del gran avance que la introducción de este sistema de numeración supuso en su día. Como les decía, la multiplicación árabe parte de este sistema de numeración, pero dispone los factores en lo que se ha venido denominando "cuadrícula árabe". En la siguiente presentación, podrán ver los detalles del ingenioso método.

La computadora humana

Ahí lo tienen: se llama Jaime García Serrano. No sé si lo conocen, pero detrás de ese rostro y de ese nombre tan común se encuentra un personaje nada corriente… Y créanme, que yo de electricidad entiendo un rato…

Pues sí, porque el susodicho individuo (más conocido con el sobrenombre de la computadora humana) acaba de batir un nuevo récord al haber conseguido memorizar los primeros 150.000 decimales del número pi. Para que se hagan una idea, recitar dichas cifras, a razón de 50 decimales por minuto, requeriría un total de 50 horas ininterrumpidas de agotador discurso.

Para librar al Sr. García (y al resto de los presentes en la prueba, celebrada ayer en Madrid) de semejante penalidad, el jurado encargado de verificar la exactitud de las cifras, optó por un sistema de sondeo al azar. Partiendo de un documento en formato pdf con los 150.000 dígitos (documento que ocupa 692 interesantísimas páginas), el jurado mostró al sujeto diferentes líneas de dicho documento aleatoriamente elegidas, y se le pidió que recitara las siguientes cifras. Tras algún que otro momento de incertidumbre y tensión, el Sr. García, que no era ningún novato en estas lides, consiguió, de este modo, su sexto récord Guinness en cálculo y memorización de datos, pulverizando la anterior plusmarca de 100.000 míseras cifras. Podrán leer los detalles de esta prueba en el siguiente enlace.

Si tienen curiosidad por saberlo, el primer récord lo obtuvo en 1989 al calcular la raíz 13 de un número de 100 cifras en 0,15 segundos; el segundo, ese mismo día, fue por memorizar un número de 220 dígitos de una sola mirada; el tercero y cuarto los obtuvo por sus cálculos del calendario Gregoriano de cien mil y un millón de años, respectivamente; y el quinto por cálculo de funciones trigonométricas. ¡No está mal para un chico que suspendía matemáticas en el cole y tenía que ayudarse de los dedos para sumar!

Si quieren conocer un poco más de la biografía de este insólito personaje, no dejen de visitar el su apasionante página web.

La multiplicación babilónica

Veamos ahora otra forma de multiplicar números, una tan antigua que ya se empleaba en la antigua Babilonia. Se basa en la siguiente identidad algebraica:

a b = [(a+b)/2]² - [(a-b)/2]²

En otras palabras, el producto de dos números cualesquiera puede calcularse por medio de sumas, restas, división por dos y obtención de cuadrados. Puede parecernos un método mucho más alambicado que el que nos enseñaron en la escuela, pero hemos de tener en cuenta que los antiguos babilonios no disponían de nuestras tablas de multiplicar, pero sí de tablas de cuadrados de números.

El cálculo por inducción de estas tablas resulta muy sencillo, puesto que si se conoce el cuadrado de un número n, el cuadrado de (n+1) será n²+2n+1. Sustituyendo n por 1, 2, 3, 4, ... se irían obteniendo los cuadrados 1, 4, 9, 16, ...

Por lo tanto, para obtener el resultado de multiplicar 35 por 43, los babilonios llevaban a cabo el siguiente cálculo:

35 . 43 = (78/2)² - (8/2)² = 39² - 4² = 1521 - 16 = 1505

La multiplicación egipcia

Hace unos días mostramos cómo se las ingeniaban los campesinos rusos para multiplicar dos números dados. En este apartado daremos un gran salto en el tiempo para revelar el método del que deriva y que era el que empleaban los antiguos egipcios para realizar dicha operación aritmética.

Tomemos de nuevo los números 35 y 43. ¿Cuál es su producto? Para averiguarlo empezamos escribiendo un 1 y uno de los factores, por ejemplo el 35, en una primera fila. A continuación duplicamos ambos números para obtener una segunda fila de números; duplicando ésta obtenemos una tercera, y así sucesivamente. El proceso se repite hasta que el primer número de la nueva fila así obtenida exceda al otro factor (el 43, en nuestro ejemplo). Es decir:

1	35
2	70
4	140
8	280
16	560
32	112

(Aquí nos detenemos, puesto que la siguiente fila empezaría con el 64, número que excede al 43). Pues bien, ahora lo único que hay que hacer es seleccionar los números de la columna izquierda que sumen 43. La suma de los números correspondientes de la columna derecha nos proporcionará el resultado de la multiplicación. Dado que 43=32+8+2+1, el resultado de multiplicar 35 por 43 será 1120+280+70+35=1505. Como pueden ver, y al igual que en el método de los campesinos rusos, este método de multiplicación sólo requiere la tabla del dos.

35 x 43 = 1505

Como ustedes saben, en matemáticas no todos los caminos conducen a Roma. Lo que a menudo olvidamos, sin embargo, es que a veces existen diversas opciones para llegar al mismo resultado. Un ejemplo de esto es la operación de multiplicación. Tenemos tan asimilada la forma de multiplicar que nos enseñaron en la escuela, que nos sorprende descubrir que existen otros métodos, como el que les explicaré a continuación, y que, al parecer, es el que emplean habitualmente los campesinos rusos.

Veamos. Supongamos que deseamos multiplicar dos números cualesquiera, por ejemplo 35 x 43. El sistema que les voy a mostrar comienza escribiendo los números uno al lado de otro. A continuación se divide el primero de ambos por dos, y se escribe el resultado redondeado sin decimales, es decir, por defecto, debajo del número original. El otro número, por el contrario, se multiplica por dos, y el resultado se escribe debajo. En el siguiente paso, se repite de nuevo el proceso, y así sucesivamente hasta que el resultado de la división reiterada del primer número sea la unidad. En el caso concreto que nos ocupa, la cosa quedaría así:

35	43
17	86
8	172
4	344
2	688
1	1376

Pues bien, ahora lo único que hay que hacer es sumar los números de la segunda columna siempre y cuando los de la primera sean impares (los pares se rechazan). Así pues, sumando 43+86+1376 obtenemos 1505, que es, ni más ni menos, el resultado buscado.

¿Curioso, verdad? Como ven, se trata de un método que permite multiplicar dos números enteros cualesquiera sin más que conocer la tabla del dos. Se cree que el método deriva de los egipcios, y tal vez en otra ocasión le dediquemos un pequeño apartado por si les pica la curiosidad.

Pierre de Fermat

Ayer se estrenó, "La habitación de Fermat", la opera prima de mi paisano, el televisivo monologuista y mago, Luis Piedrahita. Parece ser que es un film de suspense, que tiene como hilo conductor, los apasionantes enigmas matemáticos planteados, en el siglo XVII, por el jurista (¡era de letras!) francés, Pierre de Fermat, al que pueden contemplar en la imagen superior. Vean el trailer promocional, porque parece que la película puede ser interesante:

No saben lo que me alegra que, gracias a este estreno, se pueda ver o escuchar, en los medios de comunicación, al menos, alguna breve reseña de este genio de los números. Como se podrán imaginar, mi conocimiento del personaje se lo debo a mi ilustrado socio, "Ojodeorux", que me habló de la vida y milagros de nuestro protagonista, en una de nuestras añoradas noches de copas y ciencia. Sé que es difícil de creer, pero en medio del humo de los cigarros y de los vapores etílicos, desfilaron ante mí, con una estruendosa música de fondo, modelos de la talla de sus famosos numeros primos, que me presentaron a sus apuestos amigos y a otros, incluso, todavía más perfectos. Y, como gran colofón, pude apreciar toda la belleza de la última conjetura de Fermat, que, sólo, más de 300 años después, pudo, también, demostrar el perseverante matemático, Andrew Wiles. Y digo, también, porque Fermat anotó esto, en un margen de la aritmética de Diofante, e imagino que no iba de farol:

"Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet"

"Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeña para ponerla"

Si dominan el inglés, pueden enterarse mejor viendo el documental que narra la historia detallada, de la resolución del "último teorema de Fermat".

Harían bien en verlo y sacarle algo de provecho. Aunque si no son amigos de los programas divulgativos, siempre pueden probar a pelearse con las formulitas que habitan en este blog matemático, dedicado, íntegramente, al universo de Fermat.

Paradojas sobre el infinito (IX)

Vamos a profundizar un poquito más en el curioso mundo de los números transfinitos. Hasta ahora hemos hablado de aleph sub cero (el cardinal de los infinitos numerables), el cardinal del continuo (que se suele representar por la letra c), y los infinitos números transfinitos representados por la letra hebrea beth.

Ahora bien, en su teoría de los números transfinitos, Cantor introdujo otros alephs. Y los definió de modo que formaran una secuencia estrictamente creciente de cardinales infinitos. Es decir, definió aleph sub uno como el primer cardinal estrictamente mayor que aleph sub cero. Aleph sub dos como el siguiente número transfinito estrictamente mayor que aleph sub uno, y así sucesivamente.

Así pues, por un lado, tenemos los alephs; por otra los beths; y, finalmente, el cardinal del continuo. La pregunta que surge llegados a este punto es: ¿qué relación existe entre todos ellos?

La repuesta más tentadora sería pensar que aleph sub n es igual a beth sub n, para cada n. Es decir, que aleph sub uno es igual a Card(P(N)), es decir 2 elevado a aleph sub cero; que aleph sub dos sería Card(P(P(N))), es decir 2 elevado a aleph sub uno; y así sucesivamente.

Ahora bien, estas elucubraciones nos introducen en arenas movedizas, puesto que negar o afirmar estas igualdades implica recurrir a los fundamentos sobre los que se construye la Teoría de Conjuntos, es decir, a sus axiomas.

Les advierto que lo que sigue a continuación es de digestión pesada, cuanto menos. Se trata, como verán, de conceptos muy sutiles, no aptos para espíritus impacientes.

Cualquier rama de las matemáticas parte de unos principios o axiomas que son indemostrables, y que, una vez aceptados, permiten deducir determinados resultados. La Teoría de Conjuntos se basa en los llamados Axiomas de Zermelo-Fraenkel, habitualmente abreviados como Axiomas ZF.

Pues bien, estos axiomas son insuficientes para dilucidar nuestra duda acerca de los números transfinitos. Para poder responder a la pregunta es preciso introducir un nuevo axioma denominado Axioma de Elección (AE), que es completamente independiente de los otros axiomas ZF, pero necesario para poder comparar la cardinalidad de conjuntos infinitos. Existe una gran polémica acerca del empleo o no del AE: hay matemáticos que lo asumen y lo utilizan sin reservas, pues les permite probar algunas proposiciones que serían indemostrables de lo contrario. Otros lo rechazan basándose en que su aceptación conduce a resultados muy extraños, como la paradoja Banach-Tarski*. Sin embargo, su negación también produce resultados muy exóticos, como la imposibilidad de comparar los cardinales de dos conjuntos dados. Finalmente, un tercer grupo de matemáticos (los llamados constructivistas), optan por no dar por correcto el axioma ni tampoco su negación. La pega de estos últimos es que no pueden proporcionar respuestas a determinados problemas. Por ejemplo, para los constructivistas, la paradoja Banach-Tarski no sería cierta ni falsa.

Así pues, para poder hablar de una jerarquía ordenada de números transfinitos es preciso aceptar los axiomas ZFE (es decir, Zermelo-Fraenkel más Axioma de Elección). Si se aceptan, puede afirmarse, por ejemplo, que aleph sub uno es el número transfinito inmediatamente superior a aleph sub cero, pero si no se acepta el Axioma de Elección, sólo podríamos decir que podrían existir otros cardinales mayores que aleph sub cero pero incomparables con aleph sub uno.

Y ¿qué pasa con el cardinal del continuo? Pues existe una hipótesis, denominada Hipótesis del Continuo (HC), propuesta por Cantor, según la cual el cardinal del continuo es aleph sub uno. En otras palabras, la HC afirma que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea estrictamente mayor que aleph sub cero y estrictamente menor que el cardinal del continuo.

Pues bien, la demostración (o negación) de la Hipótesis del Continuo es uno de los 23 problemas de Hilbert (de hecho, es el primero). Estos famosísimos problemas, algunos de los cuales todavía no han sido resueltos, fueron propuestos por Hilbert en 1900 como desafío a las generaciones presentes y futuras de matemáticos.

Con respecto a la Hipótesis del Continuo, Kurt Gödel demostró en 1940 que no se podía demostrar como falsa partiendo de los axiomas ZF, incluso si se añadía el Axioma de Elección. En 1963, Paul Cohen, demostró, a su vez, que tampoco podía probarse partiendo de dichos axiomas. Así pues, la HC es indemostrable: ni puede afirmarse, ni puede negarse.

Existe una variante de esta hipótesis, denominada Hipótesis del Continuo Generalizada (HCG), según la cual, si un conjunto infinito tiene un cardinal comprendido entre el cardinal de un conjunto infinito A y el cardinal del conjunto de las partes de A, entonces, o bien su cardinal es Card(A) o bien es Card(P(A)). Pues bien, si la HCG es cierta, entonces aleph sub n es igual a beth sub n, para todo n.

Esta hipótesis es, nuevamente independiente de los axiomas ZF, incluso añadiendo AE. No obstante, se ha demostrado que si se aceptan los axiomas ZF y la HCG, entonces necesariamente se cumple AE.

En resumen: nos encontramos, como dije más arriba, inmersos hasta las cejas en arenas movedizas, así que no me pregunten cómo salir de este atolladero. Espero que entiendan, por tanto, que aproveche esta coyuntura para poner pies en polvorosa y finalizar aquí la apasionante saga del infinito.

*NOTA: Dicho sea de paso, esta paradoja es la más sorprendente que haya visto nunca. Cuando me hablaron de ella no daba crédito. Supongo que a ustedes les pasará lo mismo.

Paradojas sobre el infinito (VIII)

Aquí estamos de nuevo con el infinito a cuestas. Hasta ahora conocemos dos “variedades” de infinito: el numerable y el infinito del continuo. Ahora bien, ¿hay más?

La respuesta nos la proporciona (¡cómo no!) Cantor y su famoso teorema, según el cual el conjunto de las partes de un conjunto tiene cardinal estrictamente superior al cardinal del conjunto inicial.

El conjunto de las partes de un conjunto A se define como el conjunto de todos los posibles subconjuntos (incluido el conjunto vacío) de elementos de A. Se suele representar por P(A). Por ejemplo, si A={a, b, c} entonces P(A)={conjunto vacío, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

El teorema de Cantor es trivial para conjuntos finitos, puesto que si el cardinal de A es n, entonces el cardinal de P(A) es 2 elevado a n (compruébenlo con el ejemplo anterior: Card(A)=3 , Card(P(A))=8, es decir, 2 elevado a 3). Lo interesante es que Cantor demostró que también se verificaba para conjuntos infinitos.

Los detalles de la demostración los pueden ver en el siguiente enlace. Lo importante es que el teorema abre la puerta a la existencia teórica de infinidad de infinitos. En efecto, dado que el cardinal del conjunto de los números naturales es el número transfinito aleph sub cero, el conjunto de sus partes tendrá un cardinal 2 elevado a aleph sub cero. Pero, a su vez, el conjunto formado por las partes de las partes del conjunto de los números naturales tendrá cardinal 2 elevado a 2 elevado a aleph sub cero, y así sucesivamente.

Para representar estos números transfinitos se suele emplear la segunda letra del alfabeto hebreo, beth, que es la que pueden ver en la imagen. Se parte del conjunto de los números naturales N, y se define beth sub cero como Card(N) (es decir, beth sub cero es igual a aleph sub cero). A continuación se define beth sub uno como Card(P(N)), es decir 2 elevado a beth sub cero. El siguiente es beth sub dos, que es igual a Card(P(P(N))), es decir 2 elevado a beth sub uno, y así sucesivamente. En general, beth sub n es igual a 2 elevado a beth sub (n-1).

Así pues, existe toda una jerarquía de infinitos representados por los números transfinitos beth. Es decir, existen infinidad de infinitos que forman una secuencia creciente. ¿Me siguen? Pues bien, Cantor identificaba a Dios con el infinito absoluto, es decir, aquel que no se puede llegar a aprehender por la mente humana.

Paradojas sobre el infinito (VII)

Vamos a tratar de indagar un poco más en la intrincada y sorprendente naturaleza del infinito siguiendo las huellas de Cantor. Para ello, partimos del intervalo* de la recta real [0,1]. Dividimos este segmento en tres partes iguales y quitamos la central, es decir el intervalo (1/3, 2/3). Cada uno de los dos intervalos que quedan, el [0,1/3] y el [2/3,1], lo volvemos a subdividir en tres partes iguales, y nuevamente suprimimos los del medio. Y así sucesivamente, ad infinitum. ¿Me siguen? Bueno, pues lo que queda después de infinitas iteraciones es el famoso fractal denominado Conjunto de Cantor. En la imagen superior pueden ver las 4 primeras etapas del proceso.

Pues bien, fíjense en el siguiente hecho. Partimos de un intervalo de longitud 1. En la primera etapa hemos quitado 1/3, así que la longitud del conjunto remanente es 2/3. En la segunda etapa volvemos a quitar 1/3, con lo que nos quedan 2/3 de los 2/3 iniciales, es decir (2/3) al cuadrado. En la tercera etapa, el conjunto remanente medirá (2/3) al cubo, y así sucesivamente. En la etapa n-ésima, el conjunto tendrá una longitud de (2/3) elevado a n. Así pues, tras infinitas iteraciones, nos quedamos con un conjunto tan escuálido que su longitud es cero.

Pero no saquen conclusiones precipitadas. El Conjunto de Cantor mide cero patatero, pero no es ninguna birria porque, como verán a continuación, está atiborrado de elementos. ¿Cuántos?

Pues bien, fíjense que cada elemento que contiene el Conjunto de Cantor se puede describir dando la secuencia infinita de subintervalos seleccionados en cada etapa. Dicho de otro modo: una secuencia del tipo ACCAAACCCCACCAAAAAACACACC…, donde A significa “elegir el primer tercio” y C “elegir el tercer tercio”, define un punto del Conjunto de Cantor (recuerden que hemos suprimido el tercio central B en cada etapa). La secuencia que acabamos de escribir puede, por lo tanto, leerse como: “en la primera etapa cogemos el primer tercio (A); en la segunda etapa, cogemos el tercer tercio (C) de lo que quedaba tras la primera etapa; en la tercera, volvemos a coger el tercer tercio (C) de la etapa anterior; y así sucesivamente".

¿Cuántas posibilidades hay de recorrer esta especie de escalera descendente de opciones? En otras palabras, ¿cuántos elementos tiene el Conjunto de Cantor? Evidentemente, el número de posibilidades es infinito, porque basta cambiar la elección del subintervalo elegido en una sola etapa del proceso infinito para obtener un elemento diferente, así que el conjunto tiene infinitos elementos. Pero, ¿es numerable?

Si han sido buenos alumnos de la saga, a estas alturas ya se les habrá encendido la bombilla y sabrán la respuesta. Si no es así, continúen leyendo un poquito más.

Supongamos que el conjunto es numerable, de tal forma que podamos asignarle un número natural a todos y cada uno de sus elementos. Por ejemplo,

[1] ACCAACCAACACCCACAAAACACA…
[2] CACACCACCCCAAAAACACACCCA…
[3] ACACACACCCCCCCCCCCACCCAA…
[4] AAACACACACCCCAAAAAAAAACC…

Etc. Ahora generen una combinación de tal modo que su primera letra difiera de la primera letra del primer elemento de la lista (si era una A, escriban una C; si era una C, pongan una A); a continuación hagan lo mismo con la segunda letra del segundo elemento de la lista, y así sucesivamente siguiendo la diagonal marcada en negrita. Como pueden comprobar fácilmente, las primeras letras de la combinación resultante en nuestro ejemplo serán: CCCA…

Ahora bien, es obvio que esta combinación ha de ser un elemento del Conjunto de Cantor, pues es una secuencia infinita de letras A/C, pero no puede ser (por construcción) ninguna de las de la lista, lo cual contradice la hipótesis de que la lista contenía a todos los elementos del Conjunto. Por lo tanto hemos de concluir que el Conjunto de Cantor no es numerable.

Así pues, hemos encontrado un conjunto de medida cero cuyo cardinal es el cardinal del continuo. Es decir, que, teniendo longitud cero, contiene tantos puntos como toda la recta real junta (o incluso como un hiperespacio de tres mil millones de trillones de dimensiones). ¡No me digan que esto del infinito no es la bomba!

*NOTA: En un intervalo, los corchetes indican que el o los extremos del mismo están incluidos en el conjunto, mientras que los paréntesis indican lo contrario. Por ejemplo, el intervalo [a,b) contiene todos los números reales comprendidos entre a y b, incluido a y excluido b.

Paradojas sobre el infinito (VI)

Sigamos investigando el fascinante mundo de los conjuntos infinitos. El lector que haya tenido la paciencia de seguir los anteriores capítulos, habrá visto que el conjunto de los números reales es no numerable, y a su cardinal es lo que Cantor denominó cardinal del continuo.

La siguiente pregunta que surge de forma natural es la siguiente: si el cardinal de los puntos de la recta real es el cardinal del continuo, ¿cuál será el de los puntos del plano? Intuitivamente parece claro que el plano contiene muchísimos más puntos que la recta. De hecho, en un plano cualquiera pueden dibujarse infinitas rectas.

Ahora bien, tratándose del infinito, ya deberíamos de saber que la intuición sirve de bien poco. Lo único que nos permite dar respuestas precisas es el rigor matemático. Y si alguien lo sabía bien, ese era Cantor.

El razonamiento es como sigue: cualquier punto de un plano puede describirse por medio de dos coordenadas (x,y). Para simplificar los cálculos, consideraremos en vez del plano completo, un cuadrado de lado 1, de tal forma las coordenadas cartesianas (x,y) de dicho cuadrado sean números reales comprendidos entre 0 y 1. Igualmente, en vez de tomar la recta completa de los números reales, utilizaremos simplemente el segmento comprendido entre el 0 y el 1.

Pues bien, para cada par de números reales (x,y) del cuadrado en cuestión, definimos un número real z de la siguiente manera: la primera cifra decimal de z será la primera cifra decimal de x; la segunda cifra decimal de z será la primera de y; la tercera cifra decimal de z será la segunda de x; y así sucesivamente.

Por ejemplo, supongamos que las primeras cifras del desarrollo decimal de x e y sean:

x = 0.25183746463634687987…
y = 0.09587029487509870987…

Entonces

z = 0.2059158837704269446837653049688770998877…

Pues bien, esta aplicación que acabamos de construir para asociar un punto del cuadrado a un punto del segmento es biyectiva: es decir, a todos y cada uno de los puntos del cuadrado les corresponde un (y sólo un) punto del segmento, y viceversa. Así, pues, ¡no hay más puntos en el cuadrado que en el segmento, y por extensión, tampoco hay más en el plano que en la recta!

Este resultado fue sorprendente hasta para el mismísimo Cantor, quien llegó a exclamar: “¡Lo veo pero no lo creo!”

Dicho sea de paso, un razonamiento análogo probaría que no hay más puntos en el espacio tridimensional que en la recta, o incluso en cualquier espacio de dimensión mayor, siempre y cuando ésta sea finita (por ejemplo, un espacio de 28.345 dimensiones). Todos ellos tienen un número infinito no numerable de puntos igual al cardinal del continuo. ¿Qué les parece? ¿También lo ven pero no lo creen?

Paradojas sobre el infinito (V)

En la última entrega sobre el infinito hemos visto cómo Cantor llegó al descubrimiento de que el conjunto de los números irracionales era no numerable, en contraposición con el de los racionales, que sí lo era.

¿Qué implicaciones tiene esto? Supongamos que dibujamos todos los números reales en una recta ordenada, de tal forma que a cada punto de la misma le corresponda un número real y sólo uno. Podemos emplear, por ejemplo, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales*.

Pues bien, como hemos dicho ya en anteriores entregas, los números racionales tienen la propiedad de ser densos. Esto significa, en castizo, que entre dos números racionales cualesquiera (por muy, muy juntitos que estén en la recta real), existen infinitos números racionales. En otras palabras, por mucho zoom que hagamos para “ampliar el tamaño” de la recta real en un tramo cualquiera, siempre veremos infinitos puntos azules infinitamente próximos entre sí.

Pero a pesar de este hecho, los racionales dejan “huecos” o “poros” en la recta real que son rellenados por los números irracionales, y sorprendentemente, el número de poros es muchísimo mayor que el de puntos azules (hasta el punto de que no se pueden numerar). El aspecto visual que tendría la recta una vez rellenada con los números irracionales sería el de una línea roja.

Para entender la enorme diferencia de magnitud entre el número de números racionales y de irracionales (es decir, entre aleph sub cero y el cardinal del continuo), hagamos el siguiente experimento mental: imaginemos que un jugador lanza un dardo de punta infinitamente fina sobre un segmento cualquiera de la recta real. Pues bien, ¿saben cuál es la probabilidad que tiene, a priori, de acertar en un número racional (un punto azul)? Lo han adivinado: cero patatero.

*NOTA: Obviamente, hablar de puntos de colores es absurdo desde el punto de vista matemático. Para que un punto tuviese color debería contener una superficie finita (es decir, debería ser un círculo). Los puntos son idealizaciones matemáticas abstractas.

Paradojas sobre el infinito (IV)

En anteriores capítulos de la saga sobre el infinito hemos visto que conjuntos aparentemente tan dispares como el de los números naturales, el de los naturales pares, el de los primos, el de los enteros... incluso el de los racionales tienen todos ellos el mismo cardinal (designado por Cantor con el número transfinito aleph sub cero).

Surge, pues, la siguiente pregunta: ¿son todos los conjuntos infinitos, infinitos numerables (es decir tienen todos cardinal igual a aleph sub cero)?

Para tratar de dilucidar esta cuestión, demos el siguiente paso lógico: el conjunto de los números irracionales.

Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como cociente (o razón) entre dos números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2. Estos números tienen una representación decimal de infinitas cifras no periódicas, y su existencia ya era conocida (¡y lamentada!) por los pitagóricos.

Este conjunto es infinito, pues con que exista un sólo número irracional, podemos generar infinitos de forma muy simple: por ejemplo, multiplicando el irracional en cuestión por todos y cada uno de los racionales. Ahora bien, ¿es numerable?

Cantor se hizo esa misma pregunta. Para responderla, estudió el conjunto de los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 (los números reales son los elementos del conjunto formado por la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales). Si este subconjunto resultara ser no numerable, entonces, obviamente, tampoco lo podría ser el de todos los números reales.

Ahora bien, todos los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 tienen una representación decimal: dicha representación es finita, o infinita pero periódica, para los racionales; e infinita no periódica para los irracionales.

El razonamiento empleado por Cantor (presentamos aquí, no la demostración original, que era más compleja, sino una que encontró algún tiempo después) partía de la hipótesis de que el conjunto de los números reales entre 0 y 1 era numerable. De ser cierto, a todos y cada uno de los números reales entre el 0 y el 1 sería posible asignarles un único número natural, como por ejemplo:

[1] 0.13648379375974737746467676837...
[2] 0.38437292374823723942339239827...
[3] 0.76928369387347694847459878847...
[4] 0.17452047395757565656646363652...

etc. Ahora bien, partiendo de esta lista de números, les invito a que construyan el siguiente número real: su primera cifra decimal será igual a la del primer número de la lista más una unidad (si dicha cifra era un nueve, escriban un cero); su segunda cifra decimal será igual a la del segundo número de la lista más una unidad; y así sucesivamente, siguiendo la diagonal de la lista de números (marcada en negrita para mayor facilidad).

Si han realizado correctamente los cálculos verán que el número que obtienen es 0.2906... Pues bien, hemos construido un número real comprendido entre 0 y 1 que no está en la lista de partida*, lo cual contradice la hipótesis original (la de que podíamos numerar todos los números reales). Así pues, el conjunto de los números reales (entre el 0 y el 1, y por tanto, todos los demás) ha de ser infinito pero no numerable.

Cantor denominó cardinal del continuo al nuevo número transfinito que acababa de descubrir. ¡Y no vean los quebraderos de cabeza que ha dado ha más de un matemático (incluido el propio Cantor) desde entonces!

*NOTA: El número construido no puede estar en la lista: en efecto, imaginemos que estuviera y fuera el 26.432 de la lista. Pues bien, en la cifra decimal 26.432, el número que hemos construido sería una unidad mayor que la correspondiente cifra del número de partida.

Paradojas sobre el infinito (III)

Llegamos en esta tercera entrega sobre el infinito, a la cuestión del "tamaño" de los números racionales, es decir, aquellos que son el cociente de dos números enteros, por ejemplo 1/2, 2/5, etc.

Está claro que el conjunto de los números racionales es, al menos, tan grande como el de los naturales, ya que cualquier número natural se puede escribir como fracción de denominador uno.

Ahora bien, no todo número racional es natural. Así que aquí llega la pregunta: ¿hay más racionales que enteros? Ya hemos visto que una respuesta precipitada puede conducir a conclusiones equivocadas, puesto que hay tantos naturales como pares, o tantos como primos, o como cuadrados, etc. a pesar de que no todos los naturales son pares, primos o cuadrados.

Pero con los racionales pasa una cosa curiosa: entre dos números racionales cualesquiera (por muy próximos entre sí que se encuentren en la recta real) existe una cantidad infinita de números racionales. Basta considerar los dos números racionales como extremos de un segmento. El punto medio de ese segmento es también racional, y genera dos segmentos que, a su vez, se pueden subdividir infinitamente.

La intuición, nos dice, por tanto, que existen muchísimos más racionales que naturales. Pero ¿es cierta esta afirmación?

Pues no. No lo es. Georg Cantor encontró una forma de asignar a todos y cada uno de los números racionales un número natural (y sólo uno). El procedimiento es tan simple como ingenioso: se parte de la siguiente lista de números racionales

y se van recorriendo según las flechas indicadas en la figura. La primera flecha se asocia al número natural 1, la segunda al 2, y así sucesivamente. Podrán comprobar que en este montaje a todos y cada uno de los números racionales les corresponde un número natural y sólo uno (el 1 al 1/1, el 2 al 1/2, el 3 al 2/1, el 4 al 3/1, y así sucesivamente).

Así pues, el conjunto de los números racionales es numerable y tiene cardinalidad igual a aleph sub cero, la misma que los números naturales. No me cabe duda de que Galileo estaría fascinado con este descubrimiento.

Paradojas sobre el infinito (II)

Ya hemos hablado en el primer capítulo sobre el infinito de la paradoja de Galileo, según la cual hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Lo mismo puede decirse de los números pares e impares: hay tantos como números naturales. En efecto, por cada número par hay un número natural (y sólo uno) que es su mitad, y para cada número natural hay un número par (y sólo uno) que es su doble. Y obviamente, hay tantos pares como impares, puesto que el conjunto de los impares es igual al de los pares restándole una unidad a cada elemento.

Y ¿qué sucede con los números enteros (es decir, los naturales positivos junto con los negativos)? Pues que hay tantos como naturales. En efecto, a cada número natural positivo le podemos asociar un único número par igual a su doble, y para cada entero negativo, un único impar igual a su doble (en valor absoluto) menos uno. Esta aplicación entre los números enteros y los naturales es biyectiva, así que ambos conjuntos han de tener el mismo cardinal.

Y lo mismo sucede con los números primos. A cada uno de ellos se le puede asociar un natural único que es igual su órden en la secuencia de primos. Así, al 1 le correspondería el 1, al 3 el 2, al 5 el 3, al 7 el 4, etc.

Hasta aquí todo bien. Hemos visto que todos estos conjuntos infinitos, por paradójico que resulte, tienen el mismo número de elementos. El primero en estudiar sistemáticamente estos conjuntos y elaborar una teoría congruente de los mismos fue el matemático Georg Cantor, quien introdujo su concepto de los números transfinitos. Dichos números (que no son tales, sino una forma de caracterizar los distintos tipos de infinito) se definen como los cardinales de los conjuntos infinitos.

Lamentablemente cuando Cantor introdujo sus teorías, la comunidad matemática no estaba preparada para digerirlas. El eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que esperaba que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", "renegado" y "corruptor de la juventud".

El caso es que Georg Cantor sufrió de depresión y fue internado repetidamente en hospitales psiquiátricos. Con el tiempo comenzó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva.

Pues bien, según hemos visto, el cardinal de los naturales, los pares, los impares, los primos, los cuadrados, los enteros, etc. es el mismo. A dicho número transfinito Cantor lo representó con el símbolo aleph sub cero (aleph es la primera letra del alfabeto hebreo, y es la que pueden ver en la imagen que encabeza esta entrada). Así pues, aleph sub cero representa el cardinal de los conjuntos infinitos numerables (aquellos que pueden ponerse en aplicación biyectiva con los números naturales).

Y hasta aquí puedo leer... En posteriores capítulos continuaremos esta saga sobre el infinito. Sin embargo, quede aquí nuestra enorme admiración hacia este gran genio e incomprendido pionero de esta rama de las matemáticas.

Paradojas sobre el infinito (I)

Mi socio, Popeso, está últimamente fascinado con el infinito. No es para menos. Es un concepto que durante mucho tiempo ha sido fuente continua de paradojas que han desconcertado a matemáticos y filósofos por igual.

Una de ellas es la que intrigó a Galileo Galilei, ese genial astrónomo y matemático, padre de la ciencia moderna.

Para entender la paradoja debemos plantearnos previamente la siguiente cuestión: ¿cómo sabemos que un conjunto tiene igual número de elementos que otro? Encontrando una forma de relacionar uno a uno los elementos de ambos conjuntos, de tal manera que a todos y cada uno de los elementos de un conjunto les podamos asociar uno (y sólo uno) del otro conjunto, hasta agotarlos todos. Es decir, en terminología matemática, que podamos establecer una aplicación biyectiva entre los elementos de ambos conjuntos.

Así, por ejemplo, decimos que el conjunto {piedra, mano, tijera} tiene idéntico número de elementos (matemáticamente, el mismo cardinal) que el conjunto {círculo, cuadrado, triángulo}, puesto que podemos definir una aplicación biyectiva entre ambos: Por ejemplo, piedra-círculo, mano-cuadrado, tijera-triángulo.

Es obvio que cualquier subconjunto propio de un conjunto finito ("propio" significa diferente a) tiene un cardinal (número de elementos) necesariamente inferior al del conjunto completo. Por ejemplo, {piedra, tijera} tiene un cardinal 2, mientras que {piedra, mano, tijera} lo tiene 3.

Ahora bien, ¿qué sucede con los conjuntos infinitos? Pues bien, Galileo se dio cuenta que de todos los números naturales (1, 2, 3, ...), algunos tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (1, 4, 9,...) mientras que otros no lo son. Por ello, el conjunto de todos los números naturales, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, debería ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número natural que es su raíz cuadrada, y por cada número natural hay exactamente un cuadrado. Así pues, no puede haber más de un tipo que de otro.

Matemáticas de quiosco

Acabo de regresar de comprar la prensa y, en medio de multitud de coleccionables de todo tipo, muñecas del mundo, enigmas de la historia, contiendas bélicas, libros de autorrealización, etc, etc, me he topado con esta colección que me resultó curiosa: desafíos matemáticos.

Como la primera entrega sólo costaba 3,95 €, lo tuve claro y ahora la tengo en casa ante mí. Dejando a un lado un cartón publicitario de 50x70, consta de un interesante libro de Martin Gardner, con el sugerente título, ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar.

Le he echado un primer vistazo, y, me he encontrado con paradójas clásicas fascinantes como la de los cretenses, la del cocodrilo que, ante la madre, duda si comerse a su hijo, la de la ínsula del Quijote donde ahorcaban a los que no decían la verdad y otras muchas, algunas del tipo regresión infinita, como la creada por mí en una entrada anterior.

La colección completa constará, al parecer de 40 libros, de los que se conocen las primeras once entregas. Estas son (ya no incluyo la primera):

2-Los acertijos de Canterbury.
3-¿Cómo se llama este libro?
4-El prodigio de los números.
5-El hombre que calculaba.
6-Matemática, ¿estás ahí?
7-Los acertijos de Sam Loyd.
8-Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas.
9-Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas.
10-Las matemáticas de Oz.
11-El Acertijo del Mandarín.

Obviamente, no son libros de matemática científica, pero cualquier intento de acercar el conocimiento de las matemáticas al común de los mortales, me merece el mayor de los respetos. Así, que enhorabuena a la editorial RBA por la osadía de publicar Matemática recreativa y ojalá tenga el éxito que se merece.

Por último, quería decirles que todos los blogueros siempre mienten, y que yo soy uno de ellos, así que siempre miento, pero la frase la he dicho yo, luego no es verdad que los blogueros mienten, entonces...¡SOCORROOOOO!