La multiplicación árabe

Si han seguido el blog estos días, habrán aprendido curiosos métodos de multiplicación de números, algunos de ellos de origen remotísimo.

El que nos ocupa hoy, es básicamente, el que hemos aprendido en la escuela, aunque la disposición de los números resulta un poco diferente. Lo introdujeron los árabes, partiendo de los números que habían importado de la India. La clave está en el sistema de numeración posicional de base 10 y con la existencia de cero. Posicional quiere decir, en este contexto, que el valor de cada cifra depende del lugar relativo que ocupa en el número, de tal modo que si está a la derecha, representa las unidades; si se encuentra dos posiciones a la derecha, las decenas; y así sucesivamente, siguiendo las potencias de diez.

Basta pensar en lo complicado que resultaría multiplicar (o incluso sumar) dos números romanos para darnos cuenta del gran avance que la introducción de este sistema de numeración supuso en su día. Como les decía, la multiplicación árabe parte de este sistema de numeración, pero dispone los factores en lo que se ha venido denominando "cuadrícula árabe". En la siguiente presentación, podrán ver los detalles del ingenioso método.

La multiplicación babilónica

Veamos ahora otra forma de multiplicar números, una tan antigua que ya se empleaba en la antigua Babilonia. Se basa en la siguiente identidad algebraica:

a b = [(a+b)/2]² - [(a-b)/2]²

En otras palabras, el producto de dos números cualesquiera puede calcularse por medio de sumas, restas, división por dos y obtención de cuadrados. Puede parecernos un método mucho más alambicado que el que nos enseñaron en la escuela, pero hemos de tener en cuenta que los antiguos babilonios no disponían de nuestras tablas de multiplicar, pero sí de tablas de cuadrados de números.

El cálculo por inducción de estas tablas resulta muy sencillo, puesto que si se conoce el cuadrado de un número n, el cuadrado de (n+1) será n²+2n+1. Sustituyendo n por 1, 2, 3, 4, ... se irían obteniendo los cuadrados 1, 4, 9, 16, ...

Por lo tanto, para obtener el resultado de multiplicar 35 por 43, los babilonios llevaban a cabo el siguiente cálculo:

35 . 43 = (78/2)² - (8/2)² = 39² - 4² = 1521 - 16 = 1505

La multiplicación egipcia

Hace unos días mostramos cómo se las ingeniaban los campesinos rusos para multiplicar dos números dados. En este apartado daremos un gran salto en el tiempo para revelar el método del que deriva y que era el que empleaban los antiguos egipcios para realizar dicha operación aritmética.

Tomemos de nuevo los números 35 y 43. ¿Cuál es su producto? Para averiguarlo empezamos escribiendo un 1 y uno de los factores, por ejemplo el 35, en una primera fila. A continuación duplicamos ambos números para obtener una segunda fila de números; duplicando ésta obtenemos una tercera, y así sucesivamente. El proceso se repite hasta que el primer número de la nueva fila así obtenida exceda al otro factor (el 43, en nuestro ejemplo). Es decir:

1	35
2	70
4	140
8	280
16	560
32	112

(Aquí nos detenemos, puesto que la siguiente fila empezaría con el 64, número que excede al 43). Pues bien, ahora lo único que hay que hacer es seleccionar los números de la columna izquierda que sumen 43. La suma de los números correspondientes de la columna derecha nos proporcionará el resultado de la multiplicación. Dado que 43=32+8+2+1, el resultado de multiplicar 35 por 43 será 1120+280+70+35=1505. Como pueden ver, y al igual que en el método de los campesinos rusos, este método de multiplicación sólo requiere la tabla del dos.

35 x 43 = 1505

Como ustedes saben, en matemáticas no todos los caminos conducen a Roma. Lo que a menudo olvidamos, sin embargo, es que a veces existen diversas opciones para llegar al mismo resultado. Un ejemplo de esto es la operación de multiplicación. Tenemos tan asimilada la forma de multiplicar que nos enseñaron en la escuela, que nos sorprende descubrir que existen otros métodos, como el que les explicaré a continuación, y que, al parecer, es el que emplean habitualmente los campesinos rusos.

Veamos. Supongamos que deseamos multiplicar dos números cualesquiera, por ejemplo 35 x 43. El sistema que les voy a mostrar comienza escribiendo los números uno al lado de otro. A continuación se divide el primero de ambos por dos, y se escribe el resultado redondeado sin decimales, es decir, por defecto, debajo del número original. El otro número, por el contrario, se multiplica por dos, y el resultado se escribe debajo. En el siguiente paso, se repite de nuevo el proceso, y así sucesivamente hasta que el resultado de la división reiterada del primer número sea la unidad. En el caso concreto que nos ocupa, la cosa quedaría así:

35	43
17	86
8	172
4	344
2	688
1	1376

Pues bien, ahora lo único que hay que hacer es sumar los números de la segunda columna siempre y cuando los de la primera sean impares (los pares se rechazan). Así pues, sumando 43+86+1376 obtenemos 1505, que es, ni más ni menos, el resultado buscado.

¿Curioso, verdad? Como ven, se trata de un método que permite multiplicar dos números enteros cualesquiera sin más que conocer la tabla del dos. Se cree que el método deriva de los egipcios, y tal vez en otra ocasión le dediquemos un pequeño apartado por si les pica la curiosidad.