Paradójico cumpleaños

Les cuento, la imagen de arriba representa a un grupo de 60 personas más o menos. Los dos que salen al encuentro resulta que celebran su cumpleaños el mismo día. Pueden pensar que el hecho de que, entre sesenta individuos, se encuentren dos que cumplan años el mismo día, no es algo demasiado improbable. Humm, veamos. Si el año tiene 365 fechas, y hay sesenta sujetos, aparentemente, habría casi una posibilidad entre seis (60/365) de que dos de ellos hayan nacido el mismo día del mismo mes. Más o menos, idéntica probabilidad que acertar el número que va a salir al tirar un dado. Pues no era tan fácil, entonces.

¡ERROR!. Las probabilidades de que en un conjunto de 60 personas haya dos de ellas que hayan nacido el mismo día del año, son de más de un 99 %. En la tabla inferior, tienen la curva que rige para esta cuestión, donde el eje x=nº de personas, y el y=probabilidades de 0 a 1. Si no acaban de creérselo, lean esta explicación de la mal llamada "paradoja del cumpleaños".

Y lo peor de todo es que aunque hoy es el día de mi cumpleaños, por culpa de esto, en vez de especial, no puedo evitar sentirme vulgar. Mierda de matemáticas...

Paradojas sobre el infinito (I)

Mi socio, Popeso, está últimamente fascinado con el infinito. No es para menos. Es un concepto que durante mucho tiempo ha sido fuente continua de paradojas que han desconcertado a matemáticos y filósofos por igual.

Una de ellas es la que intrigó a Galileo Galilei, ese genial astrónomo y matemático, padre de la ciencia moderna.

Para entender la paradoja debemos plantearnos previamente la siguiente cuestión: ¿cómo sabemos que un conjunto tiene igual número de elementos que otro? Encontrando una forma de relacionar uno a uno los elementos de ambos conjuntos, de tal manera que a todos y cada uno de los elementos de un conjunto les podamos asociar uno (y sólo uno) del otro conjunto, hasta agotarlos todos. Es decir, en terminología matemática, que podamos establecer una aplicación biyectiva entre los elementos de ambos conjuntos.

Así, por ejemplo, decimos que el conjunto {piedra, mano, tijera} tiene idéntico número de elementos (matemáticamente, el mismo cardinal) que el conjunto {círculo, cuadrado, triángulo}, puesto que podemos definir una aplicación biyectiva entre ambos: Por ejemplo, piedra-círculo, mano-cuadrado, tijera-triángulo.

Es obvio que cualquier subconjunto propio de un conjunto finito ("propio" significa diferente a) tiene un cardinal (número de elementos) necesariamente inferior al del conjunto completo. Por ejemplo, {piedra, tijera} tiene un cardinal 2, mientras que {piedra, mano, tijera} lo tiene 3.

Ahora bien, ¿qué sucede con los conjuntos infinitos? Pues bien, Galileo se dio cuenta que de todos los números naturales (1, 2, 3, ...), algunos tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (1, 4, 9,...) mientras que otros no lo son. Por ello, el conjunto de todos los números naturales, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, debería ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número natural que es su raíz cuadrada, y por cada número natural hay exactamente un cuadrado. Así pues, no puede haber más de un tipo que de otro.