Paradojas sobre el infinito (IX)

Vamos a profundizar un poquito más en el curioso mundo de los números transfinitos. Hasta ahora hemos hablado de aleph sub cero (el cardinal de los infinitos numerables), el cardinal del continuo (que se suele representar por la letra c), y los infinitos números transfinitos representados por la letra hebrea beth.

Ahora bien, en su teoría de los números transfinitos, Cantor introdujo otros alephs. Y los definió de modo que formaran una secuencia estrictamente creciente de cardinales infinitos. Es decir, definió aleph sub uno como el primer cardinal estrictamente mayor que aleph sub cero. Aleph sub dos como el siguiente número transfinito estrictamente mayor que aleph sub uno, y así sucesivamente.

Así pues, por un lado, tenemos los alephs; por otra los beths; y, finalmente, el cardinal del continuo. La pregunta que surge llegados a este punto es: ¿qué relación existe entre todos ellos?

La repuesta más tentadora sería pensar que aleph sub n es igual a beth sub n, para cada n. Es decir, que aleph sub uno es igual a Card(P(N)), es decir 2 elevado a aleph sub cero; que aleph sub dos sería Card(P(P(N))), es decir 2 elevado a aleph sub uno; y así sucesivamente.

Ahora bien, estas elucubraciones nos introducen en arenas movedizas, puesto que negar o afirmar estas igualdades implica recurrir a los fundamentos sobre los que se construye la Teoría de Conjuntos, es decir, a sus axiomas.

Les advierto que lo que sigue a continuación es de digestión pesada, cuanto menos. Se trata, como verán, de conceptos muy sutiles, no aptos para espíritus impacientes.

Cualquier rama de las matemáticas parte de unos principios o axiomas que son indemostrables, y que, una vez aceptados, permiten deducir determinados resultados. La Teoría de Conjuntos se basa en los llamados Axiomas de Zermelo-Fraenkel, habitualmente abreviados como Axiomas ZF.

Pues bien, estos axiomas son insuficientes para dilucidar nuestra duda acerca de los números transfinitos. Para poder responder a la pregunta es preciso introducir un nuevo axioma denominado Axioma de Elección (AE), que es completamente independiente de los otros axiomas ZF, pero necesario para poder comparar la cardinalidad de conjuntos infinitos. Existe una gran polémica acerca del empleo o no del AE: hay matemáticos que lo asumen y lo utilizan sin reservas, pues les permite probar algunas proposiciones que serían indemostrables de lo contrario. Otros lo rechazan basándose en que su aceptación conduce a resultados muy extraños, como la paradoja Banach-Tarski*. Sin embargo, su negación también produce resultados muy exóticos, como la imposibilidad de comparar los cardinales de dos conjuntos dados. Finalmente, un tercer grupo de matemáticos (los llamados constructivistas), optan por no dar por correcto el axioma ni tampoco su negación. La pega de estos últimos es que no pueden proporcionar respuestas a determinados problemas. Por ejemplo, para los constructivistas, la paradoja Banach-Tarski no sería cierta ni falsa.

Así pues, para poder hablar de una jerarquía ordenada de números transfinitos es preciso aceptar los axiomas ZFE (es decir, Zermelo-Fraenkel más Axioma de Elección). Si se aceptan, puede afirmarse, por ejemplo, que aleph sub uno es el número transfinito inmediatamente superior a aleph sub cero, pero si no se acepta el Axioma de Elección, sólo podríamos decir que podrían existir otros cardinales mayores que aleph sub cero pero incomparables con aleph sub uno.

Y ¿qué pasa con el cardinal del continuo? Pues existe una hipótesis, denominada Hipótesis del Continuo (HC), propuesta por Cantor, según la cual el cardinal del continuo es aleph sub uno. En otras palabras, la HC afirma que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea estrictamente mayor que aleph sub cero y estrictamente menor que el cardinal del continuo.

Pues bien, la demostración (o negación) de la Hipótesis del Continuo es uno de los 23 problemas de Hilbert (de hecho, es el primero). Estos famosísimos problemas, algunos de los cuales todavía no han sido resueltos, fueron propuestos por Hilbert en 1900 como desafío a las generaciones presentes y futuras de matemáticos.

Con respecto a la Hipótesis del Continuo, Kurt Gödel demostró en 1940 que no se podía demostrar como falsa partiendo de los axiomas ZF, incluso si se añadía el Axioma de Elección. En 1963, Paul Cohen, demostró, a su vez, que tampoco podía probarse partiendo de dichos axiomas. Así pues, la HC es indemostrable: ni puede afirmarse, ni puede negarse.

Existe una variante de esta hipótesis, denominada Hipótesis del Continuo Generalizada (HCG), según la cual, si un conjunto infinito tiene un cardinal comprendido entre el cardinal de un conjunto infinito A y el cardinal del conjunto de las partes de A, entonces, o bien su cardinal es Card(A) o bien es Card(P(A)). Pues bien, si la HCG es cierta, entonces aleph sub n es igual a beth sub n, para todo n.

Esta hipótesis es, nuevamente independiente de los axiomas ZF, incluso añadiendo AE. No obstante, se ha demostrado que si se aceptan los axiomas ZF y la HCG, entonces necesariamente se cumple AE.

En resumen: nos encontramos, como dije más arriba, inmersos hasta las cejas en arenas movedizas, así que no me pregunten cómo salir de este atolladero. Espero que entiendan, por tanto, que aproveche esta coyuntura para poner pies en polvorosa y finalizar aquí la apasionante saga del infinito.

*NOTA: Dicho sea de paso, esta paradoja es la más sorprendente que haya visto nunca. Cuando me hablaron de ella no daba crédito. Supongo que a ustedes les pasará lo mismo.

Paradojas sobre el infinito (VIII)

Aquí estamos de nuevo con el infinito a cuestas. Hasta ahora conocemos dos “variedades” de infinito: el numerable y el infinito del continuo. Ahora bien, ¿hay más?

La respuesta nos la proporciona (¡cómo no!) Cantor y su famoso teorema, según el cual el conjunto de las partes de un conjunto tiene cardinal estrictamente superior al cardinal del conjunto inicial.

El conjunto de las partes de un conjunto A se define como el conjunto de todos los posibles subconjuntos (incluido el conjunto vacío) de elementos de A. Se suele representar por P(A). Por ejemplo, si A={a, b, c} entonces P(A)={conjunto vacío, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

El teorema de Cantor es trivial para conjuntos finitos, puesto que si el cardinal de A es n, entonces el cardinal de P(A) es 2 elevado a n (compruébenlo con el ejemplo anterior: Card(A)=3 , Card(P(A))=8, es decir, 2 elevado a 3). Lo interesante es que Cantor demostró que también se verificaba para conjuntos infinitos.

Los detalles de la demostración los pueden ver en el siguiente enlace. Lo importante es que el teorema abre la puerta a la existencia teórica de infinidad de infinitos. En efecto, dado que el cardinal del conjunto de los números naturales es el número transfinito aleph sub cero, el conjunto de sus partes tendrá un cardinal 2 elevado a aleph sub cero. Pero, a su vez, el conjunto formado por las partes de las partes del conjunto de los números naturales tendrá cardinal 2 elevado a 2 elevado a aleph sub cero, y así sucesivamente.

Para representar estos números transfinitos se suele emplear la segunda letra del alfabeto hebreo, beth, que es la que pueden ver en la imagen. Se parte del conjunto de los números naturales N, y se define beth sub cero como Card(N) (es decir, beth sub cero es igual a aleph sub cero). A continuación se define beth sub uno como Card(P(N)), es decir 2 elevado a beth sub cero. El siguiente es beth sub dos, que es igual a Card(P(P(N))), es decir 2 elevado a beth sub uno, y así sucesivamente. En general, beth sub n es igual a 2 elevado a beth sub (n-1).

Así pues, existe toda una jerarquía de infinitos representados por los números transfinitos beth. Es decir, existen infinidad de infinitos que forman una secuencia creciente. ¿Me siguen? Pues bien, Cantor identificaba a Dios con el infinito absoluto, es decir, aquel que no se puede llegar a aprehender por la mente humana.

Paradojas sobre el infinito (V)

En la última entrega sobre el infinito hemos visto cómo Cantor llegó al descubrimiento de que el conjunto de los números irracionales era no numerable, en contraposición con el de los racionales, que sí lo era.

¿Qué implicaciones tiene esto? Supongamos que dibujamos todos los números reales en una recta ordenada, de tal forma que a cada punto de la misma le corresponda un número real y sólo uno. Podemos emplear, por ejemplo, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales*.

Pues bien, como hemos dicho ya en anteriores entregas, los números racionales tienen la propiedad de ser densos. Esto significa, en castizo, que entre dos números racionales cualesquiera (por muy, muy juntitos que estén en la recta real), existen infinitos números racionales. En otras palabras, por mucho zoom que hagamos para “ampliar el tamaño” de la recta real en un tramo cualquiera, siempre veremos infinitos puntos azules infinitamente próximos entre sí.

Pero a pesar de este hecho, los racionales dejan “huecos” o “poros” en la recta real que son rellenados por los números irracionales, y sorprendentemente, el número de poros es muchísimo mayor que el de puntos azules (hasta el punto de que no se pueden numerar). El aspecto visual que tendría la recta una vez rellenada con los números irracionales sería el de una línea roja.

Para entender la enorme diferencia de magnitud entre el número de números racionales y de irracionales (es decir, entre aleph sub cero y el cardinal del continuo), hagamos el siguiente experimento mental: imaginemos que un jugador lanza un dardo de punta infinitamente fina sobre un segmento cualquiera de la recta real. Pues bien, ¿saben cuál es la probabilidad que tiene, a priori, de acertar en un número racional (un punto azul)? Lo han adivinado: cero patatero.

*NOTA: Obviamente, hablar de puntos de colores es absurdo desde el punto de vista matemático. Para que un punto tuviese color debería contener una superficie finita (es decir, debería ser un círculo). Los puntos son idealizaciones matemáticas abstractas.

Paradojas sobre el infinito (IV)

En anteriores capítulos de la saga sobre el infinito hemos visto que conjuntos aparentemente tan dispares como el de los números naturales, el de los naturales pares, el de los primos, el de los enteros... incluso el de los racionales tienen todos ellos el mismo cardinal (designado por Cantor con el número transfinito aleph sub cero).

Surge, pues, la siguiente pregunta: ¿son todos los conjuntos infinitos, infinitos numerables (es decir tienen todos cardinal igual a aleph sub cero)?

Para tratar de dilucidar esta cuestión, demos el siguiente paso lógico: el conjunto de los números irracionales.

Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como cociente (o razón) entre dos números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2. Estos números tienen una representación decimal de infinitas cifras no periódicas, y su existencia ya era conocida (¡y lamentada!) por los pitagóricos.

Este conjunto es infinito, pues con que exista un sólo número irracional, podemos generar infinitos de forma muy simple: por ejemplo, multiplicando el irracional en cuestión por todos y cada uno de los racionales. Ahora bien, ¿es numerable?

Cantor se hizo esa misma pregunta. Para responderla, estudió el conjunto de los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 (los números reales son los elementos del conjunto formado por la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales). Si este subconjunto resultara ser no numerable, entonces, obviamente, tampoco lo podría ser el de todos los números reales.

Ahora bien, todos los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 tienen una representación decimal: dicha representación es finita, o infinita pero periódica, para los racionales; e infinita no periódica para los irracionales.

El razonamiento empleado por Cantor (presentamos aquí, no la demostración original, que era más compleja, sino una que encontró algún tiempo después) partía de la hipótesis de que el conjunto de los números reales entre 0 y 1 era numerable. De ser cierto, a todos y cada uno de los números reales entre el 0 y el 1 sería posible asignarles un único número natural, como por ejemplo:

[1] 0.13648379375974737746467676837...
[2] 0.38437292374823723942339239827...
[3] 0.76928369387347694847459878847...
[4] 0.17452047395757565656646363652...

etc. Ahora bien, partiendo de esta lista de números, les invito a que construyan el siguiente número real: su primera cifra decimal será igual a la del primer número de la lista más una unidad (si dicha cifra era un nueve, escriban un cero); su segunda cifra decimal será igual a la del segundo número de la lista más una unidad; y así sucesivamente, siguiendo la diagonal de la lista de números (marcada en negrita para mayor facilidad).

Si han realizado correctamente los cálculos verán que el número que obtienen es 0.2906... Pues bien, hemos construido un número real comprendido entre 0 y 1 que no está en la lista de partida*, lo cual contradice la hipótesis original (la de que podíamos numerar todos los números reales). Así pues, el conjunto de los números reales (entre el 0 y el 1, y por tanto, todos los demás) ha de ser infinito pero no numerable.

Cantor denominó cardinal del continuo al nuevo número transfinito que acababa de descubrir. ¡Y no vean los quebraderos de cabeza que ha dado ha más de un matemático (incluido el propio Cantor) desde entonces!

*NOTA: El número construido no puede estar en la lista: en efecto, imaginemos que estuviera y fuera el 26.432 de la lista. Pues bien, en la cifra decimal 26.432, el número que hemos construido sería una unidad mayor que la correspondiente cifra del número de partida.

Paradojas sobre el infinito (III)

Llegamos en esta tercera entrega sobre el infinito, a la cuestión del "tamaño" de los números racionales, es decir, aquellos que son el cociente de dos números enteros, por ejemplo 1/2, 2/5, etc.

Está claro que el conjunto de los números racionales es, al menos, tan grande como el de los naturales, ya que cualquier número natural se puede escribir como fracción de denominador uno.

Ahora bien, no todo número racional es natural. Así que aquí llega la pregunta: ¿hay más racionales que enteros? Ya hemos visto que una respuesta precipitada puede conducir a conclusiones equivocadas, puesto que hay tantos naturales como pares, o tantos como primos, o como cuadrados, etc. a pesar de que no todos los naturales son pares, primos o cuadrados.

Pero con los racionales pasa una cosa curiosa: entre dos números racionales cualesquiera (por muy próximos entre sí que se encuentren en la recta real) existe una cantidad infinita de números racionales. Basta considerar los dos números racionales como extremos de un segmento. El punto medio de ese segmento es también racional, y genera dos segmentos que, a su vez, se pueden subdividir infinitamente.

La intuición, nos dice, por tanto, que existen muchísimos más racionales que naturales. Pero ¿es cierta esta afirmación?

Pues no. No lo es. Georg Cantor encontró una forma de asignar a todos y cada uno de los números racionales un número natural (y sólo uno). El procedimiento es tan simple como ingenioso: se parte de la siguiente lista de números racionales

y se van recorriendo según las flechas indicadas en la figura. La primera flecha se asocia al número natural 1, la segunda al 2, y así sucesivamente. Podrán comprobar que en este montaje a todos y cada uno de los números racionales les corresponde un número natural y sólo uno (el 1 al 1/1, el 2 al 1/2, el 3 al 2/1, el 4 al 3/1, y así sucesivamente).

Así pues, el conjunto de los números racionales es numerable y tiene cardinalidad igual a aleph sub cero, la misma que los números naturales. No me cabe duda de que Galileo estaría fascinado con este descubrimiento.

Paradojas sobre el infinito (II)

Ya hemos hablado en el primer capítulo sobre el infinito de la paradoja de Galileo, según la cual hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Lo mismo puede decirse de los números pares e impares: hay tantos como números naturales. En efecto, por cada número par hay un número natural (y sólo uno) que es su mitad, y para cada número natural hay un número par (y sólo uno) que es su doble. Y obviamente, hay tantos pares como impares, puesto que el conjunto de los impares es igual al de los pares restándole una unidad a cada elemento.

Y ¿qué sucede con los números enteros (es decir, los naturales positivos junto con los negativos)? Pues que hay tantos como naturales. En efecto, a cada número natural positivo le podemos asociar un único número par igual a su doble, y para cada entero negativo, un único impar igual a su doble (en valor absoluto) menos uno. Esta aplicación entre los números enteros y los naturales es biyectiva, así que ambos conjuntos han de tener el mismo cardinal.

Y lo mismo sucede con los números primos. A cada uno de ellos se le puede asociar un natural único que es igual su órden en la secuencia de primos. Así, al 1 le correspondería el 1, al 3 el 2, al 5 el 3, al 7 el 4, etc.

Hasta aquí todo bien. Hemos visto que todos estos conjuntos infinitos, por paradójico que resulte, tienen el mismo número de elementos. El primero en estudiar sistemáticamente estos conjuntos y elaborar una teoría congruente de los mismos fue el matemático Georg Cantor, quien introdujo su concepto de los números transfinitos. Dichos números (que no son tales, sino una forma de caracterizar los distintos tipos de infinito) se definen como los cardinales de los conjuntos infinitos.

Lamentablemente cuando Cantor introdujo sus teorías, la comunidad matemática no estaba preparada para digerirlas. El eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que esperaba que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", "renegado" y "corruptor de la juventud".

El caso es que Georg Cantor sufrió de depresión y fue internado repetidamente en hospitales psiquiátricos. Con el tiempo comenzó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva.

Pues bien, según hemos visto, el cardinal de los naturales, los pares, los impares, los primos, los cuadrados, los enteros, etc. es el mismo. A dicho número transfinito Cantor lo representó con el símbolo aleph sub cero (aleph es la primera letra del alfabeto hebreo, y es la que pueden ver en la imagen que encabeza esta entrada). Así pues, aleph sub cero representa el cardinal de los conjuntos infinitos numerables (aquellos que pueden ponerse en aplicación biyectiva con los números naturales).

Y hasta aquí puedo leer... En posteriores capítulos continuaremos esta saga sobre el infinito. Sin embargo, quede aquí nuestra enorme admiración hacia este gran genio e incomprendido pionero de esta rama de las matemáticas.