Paradojas sobre el infinito (VIII)

Aquí estamos de nuevo con el infinito a cuestas. Hasta ahora conocemos dos “variedades” de infinito: el numerable y el infinito del continuo. Ahora bien, ¿hay más?

La respuesta nos la proporciona (¡cómo no!) Cantor y su famoso teorema, según el cual el conjunto de las partes de un conjunto tiene cardinal estrictamente superior al cardinal del conjunto inicial.

El conjunto de las partes de un conjunto A se define como el conjunto de todos los posibles subconjuntos (incluido el conjunto vacío) de elementos de A. Se suele representar por P(A). Por ejemplo, si A={a, b, c} entonces P(A)={conjunto vacío, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

El teorema de Cantor es trivial para conjuntos finitos, puesto que si el cardinal de A es n, entonces el cardinal de P(A) es 2 elevado a n (compruébenlo con el ejemplo anterior: Card(A)=3 , Card(P(A))=8, es decir, 2 elevado a 3). Lo interesante es que Cantor demostró que también se verificaba para conjuntos infinitos.

Los detalles de la demostración los pueden ver en el siguiente enlace. Lo importante es que el teorema abre la puerta a la existencia teórica de infinidad de infinitos. En efecto, dado que el cardinal del conjunto de los números naturales es el número transfinito aleph sub cero, el conjunto de sus partes tendrá un cardinal 2 elevado a aleph sub cero. Pero, a su vez, el conjunto formado por las partes de las partes del conjunto de los números naturales tendrá cardinal 2 elevado a 2 elevado a aleph sub cero, y así sucesivamente.

Para representar estos números transfinitos se suele emplear la segunda letra del alfabeto hebreo, beth, que es la que pueden ver en la imagen. Se parte del conjunto de los números naturales N, y se define beth sub cero como Card(N) (es decir, beth sub cero es igual a aleph sub cero). A continuación se define beth sub uno como Card(P(N)), es decir 2 elevado a beth sub cero. El siguiente es beth sub dos, que es igual a Card(P(P(N))), es decir 2 elevado a beth sub uno, y así sucesivamente. En general, beth sub n es igual a 2 elevado a beth sub (n-1).

Así pues, existe toda una jerarquía de infinitos representados por los números transfinitos beth. Es decir, existen infinidad de infinitos que forman una secuencia creciente. ¿Me siguen? Pues bien, Cantor identificaba a Dios con el infinito absoluto, es decir, aquel que no se puede llegar a aprehender por la mente humana.