En anteriores capítulos de la saga sobre el infinito hemos visto que conjuntos aparentemente tan dispares como el de los números naturales, el de los naturales pares, el de los primos, el de los enteros... incluso el de los racionales tienen todos ellos el mismo cardinal (designado por Cantor con el número transfinito aleph sub cero).
Surge, pues, la siguiente pregunta: ¿son todos los conjuntos infinitos, infinitos numerables (es decir tienen todos cardinal igual a aleph sub cero)?
Para tratar de dilucidar esta cuestión, demos el siguiente paso lógico: el conjunto de los números irracionales.
Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como cociente (o razón) entre dos números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2. Estos números tienen una representación decimal de infinitas cifras no periódicas, y su existencia ya era conocida (¡y lamentada!) por los pitagóricos.
Este conjunto es infinito, pues con que exista un sólo número irracional, podemos generar infinitos de forma muy simple: por ejemplo, multiplicando el irracional en cuestión por todos y cada uno de los racionales. Ahora bien, ¿es numerable?
Cantor se hizo esa misma pregunta. Para responderla, estudió el conjunto de los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 (los números reales son los elementos del conjunto formado por la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales). Si este subconjunto resultara ser no numerable, entonces, obviamente, tampoco lo podría ser el de todos los números reales.
Ahora bien, todos los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 tienen una representación decimal: dicha representación es finita, o infinita pero periódica, para los racionales; e infinita no periódica para los irracionales.
El razonamiento empleado por Cantor (presentamos aquí, no la demostración original, que era más compleja, sino una que encontró algún tiempo después) partía de la hipótesis de que el conjunto de los números reales entre 0 y 1 era numerable. De ser cierto, a todos y cada uno de los números reales entre el 0 y el 1 sería posible asignarles un único número natural, como por ejemplo:
[1] 0.13648379375974737746467676837...
[2] 0.38437292374823723942339239827...
[3] 0.76928369387347694847459878847...
[4] 0.17452047395757565656646363652...
etc. Ahora bien, partiendo de esta lista de números, les invito a que construyan el siguiente número real: su primera cifra decimal será igual a la del primer número de la lista más una unidad (si dicha cifra era un nueve, escriban un cero); su segunda cifra decimal será igual a la del segundo número de la lista más una unidad; y así sucesivamente, siguiendo la diagonal de la lista de números (marcada en negrita para mayor facilidad).
Si han realizado correctamente los cálculos verán que el número que obtienen es 0.2906... Pues bien, hemos construido un número real comprendido entre 0 y 1 que no está en la lista de partida*, lo cual contradice la hipótesis original (la de que podíamos numerar todos los números reales). Así pues, el conjunto de los números reales (entre el 0 y el 1, y por tanto, todos los demás) ha de ser infinito pero no numerable.
Cantor denominó cardinal del continuo al nuevo número transfinito que acababa de descubrir. ¡Y no vean los quebraderos de cabeza que ha dado ha más de un matemático (incluido el propio Cantor) desde entonces!
Para tratar de dilucidar esta cuestión, demos el siguiente paso lógico: el conjunto de los números irracionales.
Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como cociente (o razón) entre dos números enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2. Estos números tienen una representación decimal de infinitas cifras no periódicas, y su existencia ya era conocida (¡y lamentada!) por los pitagóricos.
Este conjunto es infinito, pues con que exista un sólo número irracional, podemos generar infinitos de forma muy simple: por ejemplo, multiplicando el irracional en cuestión por todos y cada uno de los racionales. Ahora bien, ¿es numerable?
Cantor se hizo esa misma pregunta. Para responderla, estudió el conjunto de los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 (los números reales son los elementos del conjunto formado por la unión de los conjuntos de los números racionales e irracionales). Si este subconjunto resultara ser no numerable, entonces, obviamente, tampoco lo podría ser el de todos los números reales.
Ahora bien, todos los números reales comprendidos entre el 0 y el 1 tienen una representación decimal: dicha representación es finita, o infinita pero periódica, para los racionales; e infinita no periódica para los irracionales.
El razonamiento empleado por Cantor (presentamos aquí, no la demostración original, que era más compleja, sino una que encontró algún tiempo después) partía de la hipótesis de que el conjunto de los números reales entre 0 y 1 era numerable. De ser cierto, a todos y cada uno de los números reales entre el 0 y el 1 sería posible asignarles un único número natural, como por ejemplo:
[1] 0.13648379375974737746467676837...
[2] 0.38437292374823723942339239827...
[3] 0.76928369387347694847459878847...
[4] 0.17452047395757565656646363652...
etc. Ahora bien, partiendo de esta lista de números, les invito a que construyan el siguiente número real: su primera cifra decimal será igual a la del primer número de la lista más una unidad (si dicha cifra era un nueve, escriban un cero); su segunda cifra decimal será igual a la del segundo número de la lista más una unidad; y así sucesivamente, siguiendo la diagonal de la lista de números (marcada en negrita para mayor facilidad).
Si han realizado correctamente los cálculos verán que el número que obtienen es 0.2906... Pues bien, hemos construido un número real comprendido entre 0 y 1 que no está en la lista de partida*, lo cual contradice la hipótesis original (la de que podíamos numerar todos los números reales). Así pues, el conjunto de los números reales (entre el 0 y el 1, y por tanto, todos los demás) ha de ser infinito pero no numerable.
Cantor denominó cardinal del continuo al nuevo número transfinito que acababa de descubrir. ¡Y no vean los quebraderos de cabeza que ha dado ha más de un matemático (incluido el propio Cantor) desde entonces!
*NOTA: El número construido no puede estar en la lista: en efecto, imaginemos que estuviera y fuera el 26.432 de la lista. Pues bien, en la cifra decimal 26.432, el número que hemos construido sería una unidad mayor que la correspondiente cifra del número de partida.
5 comentarios:
A ver si lo he entendido: haciendo el siguiente número de esa forma, al llegar a su puesto en la lista, habremos aumentado tanto el nº inicial que el resultado ya no está comprendido entre 0-1.
Mi cabeza no da para ese calculo, pero seguro que es verdad y de cajón. Así que vale, te creo y me quedo pasmado.
Pero, ¿qué consecuencias se extraen de que haya infinitos numerables y otros que no?.
O mejor ¿cómo se come esto, de qué haya infinitos distintos?.
¡Help!
Noooooooo... Repasa la demostración. El número que hemos construido es un número también real y comprendido entre 0 y 1, y no sería NINGUNO de la lista que supuestamente los contenía a todos. Lo cual quiere decir que la lista no era en realidad completa. Por tanto, hemos demostrado que la hipótesis de que la lista es numerable no resulta compatible con el hecho de que sea completa. O una cosa u otra. Por lo tanto, un conjunto que contenga a TODOS los números reales entre 0 y 1 NO puede ser numerable.
Debo estar atontado, pero no cojo por qué aseguras que no está en la lista (por favor, explícamelo otra vez). Lo demás lo entiendo, pero no me contestaste a donde nos lleva este tipo de infinitos.
El número no puede estar en la lista por construcción, ya que lo hemos diseñado DIFERENTE a todos los de la lista, al menos en una cifra. Vuelve a leer la nota al pie de la entrada.
Y efectivamente todavía no he contestado a dónde nos lleva todo esto. Tenía pensado hacerlo en nuevos episodios. Por lo de pronto, hemos aprendido muchas cosas: que hay conjuntos infinitos numerables y que los hay no numerables. Entre los primeros se encuentran los racionales y entre los segundos los irracionales (y por, tanto, los reales). No seas tan impaciente.
Por cierto, quisiera hacer una rectificación: en la primera versión de esta entrada escribí que "Cantor denominó aleph sub uno al nuevo número transfinito que acababa de descubrir". Esto es inexacto, como tendremos ocasión de comprobar más adelante. La denominación correcta es "cardinal del continuo".
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