sábado, 22 de septiembre de 2007

Paradojas sobre el infinito (VI)


Sigamos investigando el fascinante mundo de los conjuntos infinitos. El lector que haya tenido la paciencia de seguir los anteriores capítulos, habrá visto que el conjunto de los números reales es no numerable, y a su cardinal es lo que Cantor denominó cardinal del continuo.


La siguiente pregunta que surge de forma natural es la siguiente: si el cardinal de los puntos de la recta real es el cardinal del continuo, ¿cuál será el de los puntos del plano? Intuitivamente parece claro que el plano contiene muchísimos más puntos que la recta. De hecho, en un plano cualquiera pueden dibujarse infinitas rectas.

Ahora bien, tratándose del infinito, ya deberíamos de saber que la intuición sirve de bien poco. Lo único que nos permite dar respuestas precisas es el rigor matemático. Y si alguien lo sabía bien, ese era Cantor.

El razonamiento es como sigue: cualquier punto de un plano puede describirse por medio de dos coordenadas (x,y). Para simplificar los cálculos, consideraremos en vez del plano completo, un cuadrado de lado 1, de tal forma las coordenadas cartesianas (x,y) de dicho cuadrado sean números reales comprendidos entre 0 y 1. Igualmente, en vez de tomar la recta completa de los números reales, utilizaremos simplemente el segmento comprendido entre el 0 y el 1.

Pues bien, para cada par de números reales (x,y) del cuadrado en cuestión, definimos un número real z de la siguiente manera: la primera cifra decimal de z será la primera cifra decimal de x; la segunda cifra decimal de z será la primera de y; la tercera cifra decimal de z será la segunda de x; y así sucesivamente.

Por ejemplo, supongamos que las primeras cifras del desarrollo decimal de x e y sean:

x = 0.25183746463634687987…
y = 0.09587029487509870987…

Entonces

z = 0.2059158837704269446837653049688770998877…

Pues bien, esta aplicación que acabamos de construir para asociar un punto del cuadrado a un punto del segmento es biyectiva: es decir, a todos y cada uno de los puntos del cuadrado les corresponde un (y sólo un) punto del segmento, y viceversa. Así, pues, ¡no hay más puntos en el cuadrado que en el segmento, y por extensión, tampoco hay más en el plano que en la recta!

Este resultado fue sorprendente hasta para el mismísimo Cantor, quien llegó a exclamar: “¡Lo veo pero no lo creo!”

Dicho sea de paso, un razonamiento análogo probaría que no hay más puntos en el espacio tridimensional que en la recta, o incluso en cualquier espacio de dimensión mayor, siempre y cuando ésta sea finita (por ejemplo, un espacio de 28.345 dimensiones). Todos ellos tienen un número infinito no numerable de puntos igual al cardinal del continuo. ¿Qué les parece? ¿También lo ven pero no lo creen?

2 comentarios:

Luis dijo...

El tema del infinito me parece realmente fascinante. Es escurridizo, no puedes mirarlo de frente porque se escapa. Es como tratar de ver de reojo tus propios ojos en un espejo cuando estas mirando otra cosa.

Por cierto, hablando de Cantor, ¿has oido hablar de su conjunto? Sus propiedades tanbién son de lo veo pero no lo creo.

Ojodeorux dijo...

Así es, Luis, fascinante y escurridizo. En el fondo, lo sorprendente y paradójico del infinito es el hecho de que, a pesar de ser inabarcable a la imaginación, sí es analizable desde la razón, al menos algunas de sus propiedades.

Y sí, conozco el Conjunto de Cantor. Pensaba hablar de él en próximos capítulos. Es otro ejemplo fascinante de cómo el infinito nos sorprende una vez más.

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