miércoles, 19 de septiembre de 2007

Paradojas sobre el infinito (II)


Ya hemos hablado en el primer capítulo sobre el infinito de la paradoja de Galileo, según la cual hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Lo mismo puede decirse de los números pares e impares: hay tantos como números naturales. En efecto, por cada número par hay un número natural (y sólo uno) que es su mitad, y para cada número natural hay un número par (y sólo uno) que es su doble. Y obviamente, hay tantos pares como impares, puesto que el conjunto de los impares es igual al de los pares restándole una unidad a cada elemento.


Y ¿qué sucede con los números enteros (es decir, los naturales positivos junto con los negativos)? Pues que hay tantos como naturales. En efecto, a cada número natural positivo le podemos asociar un único número par igual a su doble, y para cada entero negativo, un único impar igual a su doble (en valor absoluto) menos uno. Esta aplicación entre los números enteros y los naturales es biyectiva, así que ambos conjuntos han de tener el mismo cardinal.

Y lo mismo sucede con los números primos. A cada uno de ellos se le puede asociar un natural único que es igual su órden en la secuencia de primos. Así, al 1 le correspondería el 1, al 3 el 2, al 5 el 3, al 7 el 4, etc.

Hasta aquí todo bien. Hemos visto que todos estos conjuntos infinitos, por paradójico que resulte, tienen el mismo número de elementos. El primero en estudiar sistemáticamente estos conjuntos y elaborar una teoría congruente de los mismos fue el matemático Georg Cantor, quien introdujo su concepto de los números transfinitos. Dichos números (que no son tales, sino una forma de caracterizar los distintos tipos de infinito) se definen como los cardinales de los conjuntos infinitos.

Lamentablemente cuando Cantor introdujo sus teorías, la comunidad matemática no estaba preparada para digerirlas. El eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que esperaba que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", "renegado" y "corruptor de la juventud".

El caso es que Georg Cantor sufrió de depresión y fue internado repetidamente en hospitales psiquiátricos. Con el tiempo comenzó a interpretar el infinito absoluto (que no es concebible por la mente humana) como Dios, y escribió artículos religiosos sobre el tema. Murió en una clínica psiquiátrica, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva.

Pues bien, según hemos visto, el cardinal de los naturales, los pares, los impares, los primos, los cuadrados, los enteros, etc. es el mismo. A dicho número transfinito Cantor lo representó con el símbolo aleph sub cero (aleph es la primera letra del alfabeto hebreo, y es la que pueden ver en la imagen que encabeza esta entrada). Así pues, aleph sub cero representa el cardinal de los conjuntos infinitos numerables (aquellos que pueden ponerse en aplicación biyectiva con los números naturales).

Y hasta aquí puedo leer... En posteriores capítulos continuaremos esta saga sobre el infinito. Sin embargo, quede aquí nuestra enorme admiración hacia este gran genio e incomprendido pionero de esta rama de las matemáticas.

1 comentario:

Popeso Dudando dijo...

Me he quedado con ganas de saber más.
Por cierto, viendo omo acabó el amiguete Cantor, me voy a relajar un poquito y a intentar pensar menosmientras permanezco atento a futuras nuevas entregas del maravilloso mundo de lo infinito.

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