viernes, 21 de septiembre de 2007

Paradojas sobre el infinito (V)


En la última entrega sobre el infinito hemos visto cómo Cantor llegó al descubrimiento de que el conjunto de los números irracionales era no numerable, en contraposición con el de los racionales, que sí lo era.

¿Qué implicaciones tiene esto? Supongamos que dibujamos todos los números reales en una recta ordenada, de tal forma que a cada punto de la misma le corresponda un número real y sólo uno. Podemos emplear, por ejemplo, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales*.

Pues bien, como hemos dicho ya en anteriores entregas, los números racionales tienen la propiedad de ser densos. Esto significa, en castizo, que entre dos números racionales cualesquiera (por muy, muy juntitos que estén en la recta real), existen infinitos números racionales. En otras palabras, por mucho zoom que hagamos para “ampliar el tamaño” de la recta real en un tramo cualquiera, siempre veremos infinitos puntos azules infinitamente próximos entre sí.

Pero a pesar de este hecho, los racionales dejan “huecos” o “poros” en la recta real que son rellenados por los números irracionales, y sorprendentemente, el número de poros es muchísimo mayor que el de puntos azules (hasta el punto de que no se pueden numerar). El aspecto visual que tendría la recta una vez rellenada con los números irracionales sería el de una línea roja.

Para entender la enorme diferencia de magnitud entre el número de números racionales y de irracionales (es decir, entre aleph sub cero y el cardinal del continuo), hagamos el siguiente experimento mental: imaginemos que un jugador lanza un dardo de punta infinitamente fina sobre un segmento cualquiera de la recta real. Pues bien, ¿saben cuál es la probabilidad que tiene, a priori, de acertar en un número racional (un punto azul)? Lo han adivinado: cero patatero.

*NOTA: Obviamente, hablar de puntos de colores es absurdo desde el punto de vista matemático. Para que un punto tuviese color debería contener una superficie finita (es decir, debería ser un círculo). Los puntos son idealizaciones matemáticas abstractas.

4 comentarios:

Popeso Dudando dijo...

Espero que entre aleph sub cero y sub uno no haya infinitos aleph, je, je.
En serio, si hay tal diferencia entre los infinitos racionales y los irracionales, ¿por qué los catetos como yo apenas sabemos de la existencia de los irracionales y si utilizamos los racionales?. ¿Es que su importancia es menor que la de estos últimos?

Ojodeorux dijo...

La razón de que estemos mucho más familiarizados con los racionales que con los irracionales es porque nuestra primera incursión en las matemáticas, ya desde temprana edad, parte de los números naturales que, como su nombre indica, son intuitivos. A partir de ellos, y para poder realizar divisiones, surgen los racionales. Eso no significa que sean más importantes. De hecho, probablemente los números más importantes de las matemáticas sean el cero, el uno, pi, i y e. De éstos, pi y e son irracionales, 0 y 1 son naturales e i es imaginario (la raíz cuadrada de -1). Por cierto, hay una elegante fórmula, atribuida a Euler que relaciona estos cinco números: e ^(i . pi) + 1 = 0

Ojodeorux dijo...

Ah, se me olvidaba. Además, por la propiedad topológica de la densidad de los números racionales, cualquier número irracional puede ser aproximado con tanta precisión como queramos por medio de un número racional. Eso hace que, a efectos prácticos (en la vida real), podamos prescindir de los números irracionales. Eso es, por ejemplo, lo que hace una calculadora cuando pulsamos la tecla pi: nos muestra un valor truncado del verdadero pi, es decir una aproximación racional del número irracional.

Popeso Dudando dijo...

Lo de la densidad de los nº racionales es una buena respuesta a mi pregunta.
Aún así de que los cinco números más importantes en matemáticas dos sean naturales y dos irracionales, no es nada proporcional a la cantidad existente de unos y otros.

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