miércoles, 19 de septiembre de 2007

Paradojas sobre el infinito (III)


Llegamos en esta tercera entrega sobre el infinito, a la cuestión del "tamaño" de los números racionales, es decir, aquellos que son el cociente de dos números enteros, por ejemplo 1/2, 2/5, etc.


Está claro que el conjunto de los números racionales es, al menos, tan grande como el de los naturales, ya que cualquier número natural se puede escribir como fracción de denominador uno.

Ahora bien, no todo número racional es natural. Así que aquí llega la pregunta: ¿hay más racionales que enteros? Ya hemos visto que una respuesta precipitada puede conducir a conclusiones equivocadas, puesto que hay tantos naturales como pares, o tantos como primos, o como cuadrados, etc. a pesar de que no todos los naturales son pares, primos o cuadrados.

Pero con los racionales pasa una cosa curiosa: entre dos números racionales cualesquiera (por muy próximos entre sí que se encuentren en la recta real) existe una cantidad infinita de números racionales. Basta considerar los dos números racionales como extremos de un segmento. El punto medio de ese segmento es también racional, y genera dos segmentos que, a su vez, se pueden subdividir infinitamente.

La intuición, nos dice, por tanto, que existen muchísimos más racionales que naturales. Pero ¿es cierta esta afirmación?

Pues no. No lo es. Georg Cantor encontró una forma de asignar a todos y cada uno de los números racionales un número natural (y sólo uno). El procedimiento es tan simple como ingenioso: se parte de la siguiente lista de números racionales




y se van recorriendo según las flechas indicadas en la figura. La primera flecha se asocia al número natural 1, la segunda al 2, y así sucesivamente. Podrán comprobar que en este montaje a todos y cada uno de los números racionales les corresponde un número natural y sólo uno (el 1 al 1/1, el 2 al 1/2, el 3 al 2/1, el 4 al 3/1, y así sucesivamente).

Así pues, el conjunto de los números racionales es numerable y tiene cardinalidad igual a aleph sub cero, la misma que los números naturales. No me cabe duda de que Galileo estaría fascinado con este descubrimiento.

4 comentarios:

Popeso Dudando dijo...

Genial,socio,estoy enganchado.
Soy un cateto,me costó entender el patrón de asignación que encontró Cantor, y mira que lo explicas, clarito.
A por la cuarta, je,je.

Ojodeorux dijo...

Obviamente el razonamiento original de Cantor (que es el expuesto aquí) tenía sólo en consideración los racionales positivos. Incluir los negativos es sumamente fácil. Basta seguir el mismo patrón de Cantor y asignar flechas pares a los positivos e impares a los negativos, por ejemplo. De todos modos, lo interesante (y más sorprendente todavía) viene a continuación, en la cuarta saga. Un saludo.

victor dijo...

Pero fíjate una cosa: hay números racionales que se repiten (1/1, 2/2...), o se consideran diferentes aunque tengan el mismo valor?

Ojodeorux dijo...

Buena apreciación. Efectivamente, se repiten. Es decir, el conjunto de los números racionales es un subconjunto del conjunto de las fracciones incluidas en la tabla de la figura.

Pero dado que hemos probado que este último conjunto no contiene más elementos que el de los números naturales, se deduce que el conjunto de los números racionales, contenido en aquel, ha de ser también infinito, pero numerable.

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