Paradojas sobre el infinito (IX)

Vamos a profundizar un poquito más en el curioso mundo de los números transfinitos. Hasta ahora hemos hablado de aleph sub cero (el cardinal de los infinitos numerables), el cardinal del continuo (que se suele representar por la letra c), y los infinitos números transfinitos representados por la letra hebrea beth.

Ahora bien, en su teoría de los números transfinitos, Cantor introdujo otros alephs. Y los definió de modo que formaran una secuencia estrictamente creciente de cardinales infinitos. Es decir, definió aleph sub uno como el primer cardinal estrictamente mayor que aleph sub cero. Aleph sub dos como el siguiente número transfinito estrictamente mayor que aleph sub uno, y así sucesivamente.

Así pues, por un lado, tenemos los alephs; por otra los beths; y, finalmente, el cardinal del continuo. La pregunta que surge llegados a este punto es: ¿qué relación existe entre todos ellos?

La repuesta más tentadora sería pensar que aleph sub n es igual a beth sub n, para cada n. Es decir, que aleph sub uno es igual a Card(P(N)), es decir 2 elevado a aleph sub cero; que aleph sub dos sería Card(P(P(N))), es decir 2 elevado a aleph sub uno; y así sucesivamente.

Ahora bien, estas elucubraciones nos introducen en arenas movedizas, puesto que negar o afirmar estas igualdades implica recurrir a los fundamentos sobre los que se construye la Teoría de Conjuntos, es decir, a sus axiomas.

Les advierto que lo que sigue a continuación es de digestión pesada, cuanto menos. Se trata, como verán, de conceptos muy sutiles, no aptos para espíritus impacientes.

Cualquier rama de las matemáticas parte de unos principios o axiomas que son indemostrables, y que, una vez aceptados, permiten deducir determinados resultados. La Teoría de Conjuntos se basa en los llamados Axiomas de Zermelo-Fraenkel, habitualmente abreviados como Axiomas ZF.

Pues bien, estos axiomas son insuficientes para dilucidar nuestra duda acerca de los números transfinitos. Para poder responder a la pregunta es preciso introducir un nuevo axioma denominado Axioma de Elección (AE), que es completamente independiente de los otros axiomas ZF, pero necesario para poder comparar la cardinalidad de conjuntos infinitos. Existe una gran polémica acerca del empleo o no del AE: hay matemáticos que lo asumen y lo utilizan sin reservas, pues les permite probar algunas proposiciones que serían indemostrables de lo contrario. Otros lo rechazan basándose en que su aceptación conduce a resultados muy extraños, como la paradoja Banach-Tarski*. Sin embargo, su negación también produce resultados muy exóticos, como la imposibilidad de comparar los cardinales de dos conjuntos dados. Finalmente, un tercer grupo de matemáticos (los llamados constructivistas), optan por no dar por correcto el axioma ni tampoco su negación. La pega de estos últimos es que no pueden proporcionar respuestas a determinados problemas. Por ejemplo, para los constructivistas, la paradoja Banach-Tarski no sería cierta ni falsa.

Así pues, para poder hablar de una jerarquía ordenada de números transfinitos es preciso aceptar los axiomas ZFE (es decir, Zermelo-Fraenkel más Axioma de Elección). Si se aceptan, puede afirmarse, por ejemplo, que aleph sub uno es el número transfinito inmediatamente superior a aleph sub cero, pero si no se acepta el Axioma de Elección, sólo podríamos decir que podrían existir otros cardinales mayores que aleph sub cero pero incomparables con aleph sub uno.

Y ¿qué pasa con el cardinal del continuo? Pues existe una hipótesis, denominada Hipótesis del Continuo (HC), propuesta por Cantor, según la cual el cardinal del continuo es aleph sub uno. En otras palabras, la HC afirma que no existe ningún conjunto cuyo cardinal sea estrictamente mayor que aleph sub cero y estrictamente menor que el cardinal del continuo.

Pues bien, la demostración (o negación) de la Hipótesis del Continuo es uno de los 23 problemas de Hilbert (de hecho, es el primero). Estos famosísimos problemas, algunos de los cuales todavía no han sido resueltos, fueron propuestos por Hilbert en 1900 como desafío a las generaciones presentes y futuras de matemáticos.

Con respecto a la Hipótesis del Continuo, Kurt Gödel demostró en 1940 que no se podía demostrar como falsa partiendo de los axiomas ZF, incluso si se añadía el Axioma de Elección. En 1963, Paul Cohen, demostró, a su vez, que tampoco podía probarse partiendo de dichos axiomas. Así pues, la HC es indemostrable: ni puede afirmarse, ni puede negarse.

Existe una variante de esta hipótesis, denominada Hipótesis del Continuo Generalizada (HCG), según la cual, si un conjunto infinito tiene un cardinal comprendido entre el cardinal de un conjunto infinito A y el cardinal del conjunto de las partes de A, entonces, o bien su cardinal es Card(A) o bien es Card(P(A)). Pues bien, si la HCG es cierta, entonces aleph sub n es igual a beth sub n, para todo n.

Esta hipótesis es, nuevamente independiente de los axiomas ZF, incluso añadiendo AE. No obstante, se ha demostrado que si se aceptan los axiomas ZF y la HCG, entonces necesariamente se cumple AE.

En resumen: nos encontramos, como dije más arriba, inmersos hasta las cejas en arenas movedizas, así que no me pregunten cómo salir de este atolladero. Espero que entiendan, por tanto, que aproveche esta coyuntura para poner pies en polvorosa y finalizar aquí la apasionante saga del infinito.

*NOTA: Dicho sea de paso, esta paradoja es la más sorprendente que haya visto nunca. Cuando me hablaron de ella no daba crédito. Supongo que a ustedes les pasará lo mismo.