martes, 18 de septiembre de 2007

Paradojas sobre el infinito (I)


Mi socio, Popeso, está últimamente fascinado con el infinito. No es para menos. Es un concepto que durante mucho tiempo ha sido fuente continua de paradojas que han desconcertado a matemáticos y filósofos por igual.


Una de ellas es la que intrigó a Galileo Galilei, ese genial astrónomo y matemático, padre de la ciencia moderna.

Para entender la paradoja debemos plantearnos previamente la siguiente cuestión: ¿cómo sabemos que un conjunto tiene igual número de elementos que otro? Encontrando una forma de relacionar uno a uno los elementos de ambos conjuntos, de tal manera que a todos y cada uno de los elementos de un conjunto les podamos asociar uno (y sólo uno) del otro conjunto, hasta agotarlos todos. Es decir, en terminología matemática, que podamos establecer una aplicación biyectiva entre los elementos de ambos conjuntos.

Así, por ejemplo, decimos que el conjunto {piedra, mano, tijera} tiene idéntico número de elementos (matemáticamente, el mismo cardinal) que el conjunto {círculo, cuadrado, triángulo}, puesto que podemos definir una aplicación biyectiva entre ambos: Por ejemplo, piedra-círculo, mano-cuadrado, tijera-triángulo.

Es obvio que cualquier subconjunto propio de un conjunto finito ("propio" significa diferente a) tiene un cardinal (número de elementos) necesariamente inferior al del conjunto completo. Por ejemplo, {piedra, tijera} tiene un cardinal 2, mientras que {piedra, mano, tijera} lo tiene 3.

Ahora bien, ¿qué sucede con los conjuntos infinitos? Pues bien, Galileo se dio cuenta que de todos los números naturales (1, 2, 3, ...), algunos tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (1, 4, 9,...) mientras que otros no lo son. Por ello, el conjunto de todos los números naturales, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, debería ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número natural que es su raíz cuadrada, y por cada número natural hay exactamente un cuadrado. Así pues, no puede haber más de un tipo que de otro.

6 comentarios:

Popeso Dudando dijo...

Flipo,
entiendo lo que quieres decir, pero el tema me supera, es como lo de que es igual el conjunto de números pares que el de todos los números, pares e impares. ¿O no?. Jo, qué lío me armo.

Ojodeorux dijo...

Así es: para cada número par tenemos un número natural que es igual a la mitad del número par, y para cada número natural existe un par que es exactamente su doble. Un razonamiento análogo sirve para los impares.

Anónimo dijo...

interesante, esto se cumpliria(el hecho de decir que el cunjunto de los numeros enteros es mas grande que el conjunto de los numeros con raiz cuadrada exacta) si los dos conjuntos tuvieran fin, pero no porque son conjuntos abiertos.

Anónimo dijo...

boooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooh
u.u

juan manuel dijo...

se que una recta y un cuadrado se pueden corresponder de manera biunivoca, me pueden decir como? y ademas si, sí es cierto que si elevo a una potencia igual que la cardinalidad de los reales a la misma cardinalidad de los reales, obtengo todavia otro infinito que no se puede poner en correspondencia biunivoca con los reales.

Ojodeorux dijo...

Efectivamente, recta y plano tienen la misma cardinalidad (la del continuo). Para demostrarlo hemos de probar que cualquier punto del plano puede asociarse unívocamente con un punto de la recta.

Hemos de probar, por tanto, que si (a,b) es un punto en el plano definido por sus coordenadas, entonces, podemos asociarle un punto, y sólo uno, en la recta real, y viceversa.

Supongamos, por ejemplo, que las coordenadas a y b pueden escribirse en forma decimal de la siguiente manera:

a = ...a[3]a[2]a[1]a[0].a[-1]a[-2]a[-3]...
b = ...b[3]b[2]b[1]b[0].b[-1]b[-2]b[-3]...

donde los números que van entre corchetes deberían de entenderse como subíndices.

(en estas representaciones decimales se excluyen aquellos números que tienen, a partir de una determinada cifra, una serie infinita de nueves, puesto que existe otra representación decimal para ellos. Es decir: 0,539999... es el mismo número que 0,54)

Como ejemplo, si a = 34.1684, entonces
a[1]=3, a[0]=4,
a[-1]=1, a[-2]=6,
a[-3]=8, a[-4]=4,
y el resto de los términos serían igual a cero.

Pues bien, sea c el número real, en representación decimal, definido de la siguiente manera:

c = ... b[1]a[1]b[0]a[0].b[-1]a[-1]b[-2]a[-2]...

Por ejemplo, si

a = ...352.453... y
b = ...409.897...

entonces c = ...430592.849573...

Pues bien, con esta construcción está claro que para cualesquiera números a y b (es decir, para cualquier punto del plano) existe un único punto de la recta real c, y viceversa: a cada punto c de la recta real le podemos asociar un punto en el plano (a,b) obtenido por medio de la identidad anterior.

Esto demuestra que el plano no contiene más puntos que la recta, y que, por tanto, la cardinalidad del plano es igual a la del continuo. De hecho puede demostrarse, por medio del mismo argumento, que la cardinalidad del espacio euclídeo R^n (con n un número natural cualquiera) es igual a la de R (cardinal del continuo).

Con respecto a la segunda parte de la pregunta, la respuesta nos la proporciona el Teorema de Cantor, que prueba que el cardinal de un conjunto es estrictamente inferior al cardinal del conjunto de las partes de ese conjunto. Para una demostración de este teorema, teclea "Teorema de Cantor" en Wikipedia.

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