Paradojas sobre el infinito (VII)

Vamos a tratar de indagar un poco más en la intrincada y sorprendente naturaleza del infinito siguiendo las huellas de Cantor. Para ello, partimos del intervalo* de la recta real [0,1]. Dividimos este segmento en tres partes iguales y quitamos la central, es decir el intervalo (1/3, 2/3). Cada uno de los dos intervalos que quedan, el [0,1/3] y el [2/3,1], lo volvemos a subdividir en tres partes iguales, y nuevamente suprimimos los del medio. Y así sucesivamente, ad infinitum. ¿Me siguen? Bueno, pues lo que queda después de infinitas iteraciones es el famoso fractal denominado Conjunto de Cantor. En la imagen superior pueden ver las 4 primeras etapas del proceso.

Pues bien, fíjense en el siguiente hecho. Partimos de un intervalo de longitud 1. En la primera etapa hemos quitado 1/3, así que la longitud del conjunto remanente es 2/3. En la segunda etapa volvemos a quitar 1/3, con lo que nos quedan 2/3 de los 2/3 iniciales, es decir (2/3) al cuadrado. En la tercera etapa, el conjunto remanente medirá (2/3) al cubo, y así sucesivamente. En la etapa n-ésima, el conjunto tendrá una longitud de (2/3) elevado a n. Así pues, tras infinitas iteraciones, nos quedamos con un conjunto tan escuálido que su longitud es cero.

Pero no saquen conclusiones precipitadas. El Conjunto de Cantor mide cero patatero, pero no es ninguna birria porque, como verán a continuación, está atiborrado de elementos. ¿Cuántos?

Pues bien, fíjense que cada elemento que contiene el Conjunto de Cantor se puede describir dando la secuencia infinita de subintervalos seleccionados en cada etapa. Dicho de otro modo: una secuencia del tipo ACCAAACCCCACCAAAAAACACACC…, donde A significa “elegir el primer tercio” y C “elegir el tercer tercio”, define un punto del Conjunto de Cantor (recuerden que hemos suprimido el tercio central B en cada etapa). La secuencia que acabamos de escribir puede, por lo tanto, leerse como: “en la primera etapa cogemos el primer tercio (A); en la segunda etapa, cogemos el tercer tercio (C) de lo que quedaba tras la primera etapa; en la tercera, volvemos a coger el tercer tercio (C) de la etapa anterior; y así sucesivamente".

¿Cuántas posibilidades hay de recorrer esta especie de escalera descendente de opciones? En otras palabras, ¿cuántos elementos tiene el Conjunto de Cantor? Evidentemente, el número de posibilidades es infinito, porque basta cambiar la elección del subintervalo elegido en una sola etapa del proceso infinito para obtener un elemento diferente, así que el conjunto tiene infinitos elementos. Pero, ¿es numerable?

Si han sido buenos alumnos de la saga, a estas alturas ya se les habrá encendido la bombilla y sabrán la respuesta. Si no es así, continúen leyendo un poquito más.

Supongamos que el conjunto es numerable, de tal forma que podamos asignarle un número natural a todos y cada uno de sus elementos. Por ejemplo,

[1] ACCAACCAACACCCACAAAACACA…
[2] CACACCACCCCAAAAACACACCCA…
[3] ACACACACCCCCCCCCCCACCCAA…
[4] AAACACACACCCCAAAAAAAAACC…

Etc. Ahora generen una combinación de tal modo que su primera letra difiera de la primera letra del primer elemento de la lista (si era una A, escriban una C; si era una C, pongan una A); a continuación hagan lo mismo con la segunda letra del segundo elemento de la lista, y así sucesivamente siguiendo la diagonal marcada en negrita. Como pueden comprobar fácilmente, las primeras letras de la combinación resultante en nuestro ejemplo serán: CCCA…

Ahora bien, es obvio que esta combinación ha de ser un elemento del Conjunto de Cantor, pues es una secuencia infinita de letras A/C, pero no puede ser (por construcción) ninguna de las de la lista, lo cual contradice la hipótesis de que la lista contenía a todos los elementos del Conjunto. Por lo tanto hemos de concluir que el Conjunto de Cantor no es numerable.

Así pues, hemos encontrado un conjunto de medida cero cuyo cardinal es el cardinal del continuo. Es decir, que, teniendo longitud cero, contiene tantos puntos como toda la recta real junta (o incluso como un hiperespacio de tres mil millones de trillones de dimensiones). ¡No me digan que esto del infinito no es la bomba!

*NOTA: En un intervalo, los corchetes indican que el o los extremos del mismo están incluidos en el conjunto, mientras que los paréntesis indican lo contrario. Por ejemplo, el intervalo [a,b) contiene todos los números reales comprendidos entre a y b, incluido a y excluido b.